Окружности с центром точке О проведена касательная АВ,А-точка касания Найдите радиус окружности ,если...

Радиус окружности можно найти по формуле:

[ r = OВ \cdot \cos(\beta) ]

Где ( r ) — радиус окружности, ( OВ ) — расстояние от центра окружности до касательной, равное 4 см, и ( \beta ) — угол между радиусом и касательной.

Для нахождения радиуса окружности, исходя из заданных условий, воспользуемся свойствами касательных и треугольников.

1. Обозначим известные величины:

   • Обозначим радиус окружности через ( R ).
   • Дано: ( ОВ = 4 \, \text{см} ) и угол ( \angle AOV = \beta ).

2. Свойства касательной: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Это означает, что ( OA \perp AB ). В треугольнике ( OAB ) мы можем рассматривать ( OA ) как радиус ( R ), ( OB ) как известную длину ( 4 \, \text{см} ), а отрезок ( AB ) будет являться касательной.

3. Применим теорему о касательной: В треугольнике ( OAB ) по теореме о касательной мы можем записать: [ OB^2 = OA^2 + AB^2 ] где ( OB = 4 \, \text{см} ), ( OA = R ), а ( AB ) — длина касательной.

4. Определим длину касательной: Мы также можем выразить длину касательной ( AB ) через угол ( \beta ): [ AB = OB \cdot \sin(\beta) = 4 \cdot \sin(\beta) ]

5. Запишем уравнение: Подставим значение ( AB ) в уравнение: [ OB^2 = OA^2 + AB^2 ] [ 4^2 = R^2 + (4 \cdot \sin(\beta))^2 ] [ 16 = R^2 + 16 \cdot \sin^2(\beta) ]

6. Решим уравнение для ( R ): Переносим ( 16 \cdot \sin^2(\beta) ) на другую сторону: [ R^2 = 16 - 16 \cdot \sin^2(\beta) ] [ R^2 = 16(1 - \sin^2(\beta)) ] Используя тригонометрическую идентичность ( 1 - \sin^2(\beta) = \cos^2(\beta) ): [ R^2 = 16 \cdot \cos^2(\beta) ] [ R = 4 \cdot \cos(\beta) ]

Таким образом, радиус окружности ( R ) можно выразить через угол ( \beta ): [ R = 4 \cdot \cos(\beta) \, \text{см} ]

Это и есть ответ на задачу.

Давайте разберем данный вопрос. У нас есть окружность с центром в точке ( O ), к которой проведена касательная ( AB ). Точка ( A ) — это точка касания окружности и прямой ( AB ). Также известно, что расстояние от центра окружности до точки ( B ) равно ( OB = 4 \, \text{см} ), а угол ( \angle AOB = \beta ). Нужно найти радиус окружности ( R ).

1. Анализ задачи

Сразу вспомним некоторые свойства окружности и касательной:

• Радиус ( OA ), проведённый к точке касания ( A ), перпендикулярен касательной ( AB ). Это означает, что ( \angle OAB = 90^\circ ).
• Треугольник ( \triangle OAB ) является прямоугольным, так как ( \angle OAB = 90^\circ ).

Далее анализируем данные:

• ( OB = 4 \, \text{см} ) — это гипотенуза треугольника ( \triangle OAB ).
• ( \angle AOB = \beta ) — угол между радиусом ( OA ) и отрезком ( OB ).
• Радиус ( R = OA ) нужно найти.

2. Используем тригонометрию

В прямоугольном треугольнике ( \triangle OAB ) можем использовать тригонометрические функции. Например:

[ \cos(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OA}{OB}. ]

Подставим обозначения: [ \cos(\beta) = \frac{R}{4}. ]

Отсюда радиус ( R ) выражается как: [ R = 4 \cdot \cos(\beta). ]

3. Итог

Радиус окружности равен: [ R = 4 \cdot \cos(\beta), ] где ( \beta ) — угол ( \angle AOB ), а ( \cos(\beta) ) — косинус этого угла.

Если ( \beta ) задан численно, просто подставьте его значение в формулу и найдите ( R ).

Пример

Если, например, ( \beta = 60^\circ ), то ( \cos(60^\circ) = 0.5 ). Тогда: [ R = 4 \cdot 0.5 = 2 \, \text{см}. ]