Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник с углом при его вершине 120º . Образующая...

Давай разберем задачу по шагам, чтобы все стало понятно.

Что дано:

1. Конус, осевое сечение которого — равнобедренный треугольник.
2. Угол при вершине этого треугольника равен 120°.
3. Длина образующей конуса ( l = 5 \, \text{см} ) (образующая — это наклонная сторона конуса).
4. Требуется найти площадь полной поверхности конуса.

Напоминание о формуле площади полной поверхности конуса:

Площадь полной поверхности конуса состоит из двух частей:

• Площадь боковой поверхности: ( S_{\text{бок}} = \pi r l ), где ( r ) — радиус основания, ( l ) — образующая.
• Площадь основания: ( S_{\text{осн}} = \pi r^2 ).

Итак, ( S{\text{полная}} = S{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = \pi r l + \pi r^2 ).

Чтобы найти ( S_{\text{полная}} ), нужно сначала определить радиус основания ( r ).

Решение:

1. Разберемся с осевым сечением.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с углом при вершине ( 120^\circ ). Образующие конуса являются его боковыми сторонами, и их длина равна ( 5 \, \text{см} ).

Для удобства введем обозначения:

• Вершина треугольника — ( O ),
• Основание треугольника — ( AB ),
• Высота треугольника, опущенная из вершины ( O ) на основание ( AB ), — это высота конуса ( h ) (так как осевое сечение проходит через ось конуса),
• Половина основания ( AB ) — это радиус основания конуса ( r ).

Чтобы определить ( r ) и ( h ), воспользуемся тригонометрией.

2. Найдем радиус основания ( r ) (половину основания треугольника).

Соединим вершину ( O ) треугольника с серединой основания (обозначим ее ( M )). Тогда треугольник ( OMA ) является прямоугольным. Угол ( \angle AOM = 60^\circ ) (половина угла ( 120^\circ )), гипотенуза ( OA = l = 5 \, \text{см} ), а ( AM = r ).

Используем тригонометрические свойства: [ \cos 60^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OM}{OA}. ] [ \cos 60^\circ = \frac{h}{5}. ] Так как ( \cos 60^\circ = 0,5 ), то: [ h = 5 \cdot 0,5 = 2,5 \, \text{см}. ]

Теперь найдем ( r ) (основание ( AM )) через синус: [ \sin 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AM}{OA}. ] [ \sin 60^\circ = \frac{r}{5}. ] Так как ( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ), то: [ r = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \, \text{см}. ]

3. Найдем площадь полной поверхности конуса.

Теперь у нас есть:

• ( r = \frac{5\sqrt{3}}{2} ),
• ( h = 2,5 ),
• ( l = 5 ).

Площадь боковой поверхности:

[ S{\text{бок}} = \pi r l. ] Подставим значения: [ S{\text{бок}} = \pi \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = \frac{25\sqrt{3}}{2} \pi. ]

Площадь основания:

[ S{\text{осн}} = \pi r^2. ] Подставим ( r = \frac{5\sqrt{3}}{2} ): [ r^2 = \left( \frac{5\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{25 \cdot 3}{4} = \frac{75}{4}. ] Тогда: [ S{\text{осн}} = \pi \cdot \frac{75}{4} = \frac{75}{4} \pi. ]

Полная площадь:

[ S{\text{полная}} = S{\text{бок}} + S{\text{осн}}. ] Подставим значения: [ S{\text{полная}} = \frac{25\sqrt{3}}{2} \pi + \frac{75}{4} \pi. ]

Приведем к общему знаменателю (наименьший общий знаменатель — 4): [ \frac{25\sqrt{3}}{2} \pi = \frac{50\sqrt{3}}{4} \pi. ] Тогда: [ S_{\text{полная}} = \frac{50\sqrt{3}}{4} \pi + \frac{75}{4} \pi = \frac{50\sqrt{3} + 75}{4} \pi. ]

Ответ:

Площадь полной поверхности конуса: [ S_{\text{полная}} = \frac{50\sqrt{3} + 75}{4} \pi \, \text{см}^2. ]

Для того чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нам нужно знать его радиус основания и высоту. В данном случае мы имеем осевое сечение конуса в виде равнобедренного треугольника с углом при вершине 120°. Образующая конуса (длина образующей) равна 5 см.

Шаг 1: Определение высоты и радиуса

1. Описываем равнобедренный треугольник:

   • У нас есть треугольник ABC, где A — вершина, а B и C — основания.
   • Угол A равен 120°.
   • Обозначим AB = AC = l = 5 см (образующая).

2. Найдём высоту:

   • Высота h треугольника опускается из точки A на основание BC и делит его на два равных отрезка (так как треугольник равнобедренный).
   • Обозначим точку D — проекция точки A на основание BC. Тогда угол BAD равен 60° (половина угла при вершине).
   • В треугольнике ABD (прямоугольный треугольник) можем использовать тригонометрические соотношения: [ h = AB \cdot \sin(60°) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33 \text{ см} ]

3. Найдём радиус основания:

   • В треугольнике ABD: [ r = AB \cdot \cos(60°) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 \text{ см} ]

Шаг 2: Площадь полной поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса ( S ) рассчитывается по формуле: [ S = S{основания} + S{боковой} ] где:

• ( S_{основания} = \pi r^2 )
• ( S_{боковой} = \pi r l )

1. Площадь основания: [ S_{основания} = \pi (2.5)^2 = \pi \cdot 6.25 \approx 19.63 \text{ см}^2 ]

2. Площадь боковой поверхности: [ S_{боковой} = \pi \cdot 2.5 \cdot 5 = \pi \cdot 12.5 \approx 39.27 \text{ см}^2 ]

3. Общая площадь: [ S = S{основания} + S{боковой} \approx 19.63 + 39.27 = 58.90 \text{ см}^2 ]

Ответ

Площадь полной поверхности конуса составляет примерно ( 58.90 \, \text{см}^2 ).

Для нахождения площади полной поверхности конуса нужно знать площадь основания и площадь боковой поверхности.

1. Площадь основания: основание конуса — круг, радиус которого можно найти из осевого сечения. Угол при вершине равен 120°, значит, угол при основании равнобедренного треугольника равен 30° (120°/2). Используя формулу для нахождения радиуса через образующую (l) и угол:

   ( r = l \cdot \sin(30°) = 5 \cdot 0.5 = 2.5 ) см.

   Площадь основания:

   [ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi (2.5)^2 = 6.25\pi \, \text{см}^2. ]

2. Площадь боковой поверхности:

   [ S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 2.5 \cdot 5 = 12.5\pi \, \text{см}^2. ]

3. Полная площадь поверхности:

   [ S{\text{пол}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 6.25\pi + 12.5\pi = 18.75\pi \, \text{см}^2. ]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна ( 18.75\pi \, \text{см}^2 ) (примерно 58.82 см², если взять π ≈ 3.14).