Основания прямоугольной трапеции равны a и b один из углов равен a найти меньшую боковую сторону трапеции...

Чтобы найти меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, начнем с анализа задачи и использования геометрических зависимостей.

Условия задачи:

1. Прямоугольная трапеция: одно из оснований ( a = 10 \, \text{см} ), другое ( b = 15 \, \text{см} ).
2. Один из углов равен ( 45^\circ ).
3. Нам нужно найти меньшую боковую сторону трапеции.

Ход решения:

1. Геометрия прямоугольной трапеции:

Прямоугольная трапеция — это четырехугольник, у которого:

• одно из оснований перпендикулярно боковым сторонам;
• две боковые стороны называются перпендикулярной и наклонной (относительно основания).

Без потери общности предположим, что нижнее основание (большее) ( b = 15 ), верхнее основание ( a = 10 ). Высота трапеции будет перпендикулярна обоим основаниям.

2. Разберемся с углом ( 45^\circ ):

Угол ( 45^\circ ) при основании означает, что наклонная боковая сторона образует прямоугольный треугольник с высотой трапеции и разностью оснований.

Обозначим:

• Высоту трапеции как ( h );
• Наклонную боковую сторону (гипотенузу этого треугольника) как ( c );
• Разность оснований ((b - a = 15 - 10 = 5)).

Прямоугольный треугольник, где угол равен ( 45^\circ ), имеет важное свойство: катеты равны. Поэтому: [ h = b - a = 5 \, \text{см}. ]

3. Найдем меньшую боковую сторону:

Меньшая боковая сторона в прямоугольной трапеции — это перпендикулярная боковая сторона, равная высоте трапеции: [ h = 5 \, \text{см}. ]

Итог:

Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна: [ \boxed{5 \, \text{см}} ]

Для решения задачи начнем с обозначений. Пусть:

• ( AB ) и ( CD ) — основания прямоугольной трапеции, где ( AB = a = 10 \, \text{см} ) и ( CD = b = 15 \, \text{см} ).
• ( BC ) и ( AD ) — боковые стороны, причем ( AD ) — меньшая боковая сторона, которую мы хотим найти.
• Угол ( \angle DAB = 45^\circ ).

Прямоугольная трапеция имеет один из углов равным ( 90^\circ ) (это угол между основанием и боковой стороной), и в данном случае это угол ( \angle ABC ). Угол ( \angle DAB = 45^\circ ) означает, что боковая сторона ( AD ) образует угол с основанием ( AB ).

Исходя из геометрии, мы можем построить прямоугольный треугольник ( \triangle DAB ):

1. Поскольку ( \angle DAB = 45^\circ ), в этом треугольнике угол ( \angle ADB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ ).
2. Таким образом, треугольник ( \triangle DAB ) является равнобедренным, и его стороны ( DA ) и ( DB ) равны.

Обозначим длину боковой стороны ( AD ) как ( h ). В этом случае, по свойству равнобедренного треугольника, длина отрезка ( DB ) будет также равна ( h ).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты ( h ) прямоугольной трапеции. Так как основания ( a ) и ( b ) отличаются, мы можем выразить длину отрезка ( DC ):

[ DC = b - a = 15\, \text{см} - 10\, \text{см} = 5\, \text{см}. ]

Теперь применим свойства треугольника ( \triangle DAB ):

В этом треугольнике у нас есть:

• Высота ( h ) (которая равна ( DA )),
• Длина отрезка ( AB = 10 \, \text{см} ),
• Длина отрезка ( DC = 5 \, \text{см} ),
• Угол ( \angle DAB = 45^\circ ).

Поскольку ( \tan(45^\circ) = 1 ), мы можем записать, что:

[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{DC} = 1 \implies h = DC = 5 \, \text{см}. ]

Теперь, поскольку ( AD ) — это меньшая боковая сторона, мы можем заключить, что:

[ AD = h = 5 \, \text{см}. ]

Таким образом, меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции ( AD ) равна ( 5 \, \text{см} ).

Для нахождения меньшей боковой стороны прямоугольной трапеции, где основания равны ( a = 10 ) см и ( b = 15 ) см, а один из углов ( 45^\circ ), можно воспользоваться свойствами треугольника.

В прямоугольной трапеции, если угол ( 45^\circ ) находится напротив более короткого основания, то меньшая боковая сторона равна разности оснований, деленной на ( \sqrt{2} ):

[ h = \frac{b - a}{\sqrt{2}} = \frac{15 - 10}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \approx 3.54 \text{ см} ]

Таким образом, меньшая боковая сторона равна ( 3.54 ) см.