Основание АД трапеции АВСД лежит в плоскости α. Вершина С не лежит в этой плоскости. Через середины...

Для доказательства того, что прямая m параллельна плоскости α, рассмотрим следующее:

Пусть E и F - середины боковых сторон AB и CD соответственно. Так как EF - это средняя линия трапеции ABCD, то она параллельна основаниям трапеции и равна полусумме их длин.

Так как точка C не лежит в плоскости α, то прямая EF, проходящая через середины боковых сторон трапеции, не может быть перпендикулярна к плоскости α. Если бы прямая m не была параллельна плоскости α, то она была бы пересекала плоскость α под углом. В таком случае отрезок EF не мог бы быть средней линией трапеции ABCD.

Следовательно, прямая m параллельна плоскости α.

Для доказательства того, что прямая ( m ), проведенная через середины боковых сторон трапеции ( ABCD ), параллельна плоскости ( \alpha ), рассмотрим следующие ключевые моменты и шаги.

1. Определение и свойства трапеции:

   • Трапеция ( ABCD ) имеет основания ( AD ) и ( BC ). Основание ( AD ) лежит в плоскости ( \alpha ).
   • Пусть точки ( M ) и ( N ) являются серединами боковых сторон ( AB ) и ( CD ) соответственно.

2. Положение точки ( C ):

   • Вершина ( C ) не лежит в плоскости ( \alpha ).

3. Прямая через середины боковых сторон:

   • Прямая ( m ) проходит через точки ( M ) и ( N ).

4. Параллельность прямой плоскости:

   • Чтобы доказать, что прямая ( m ) параллельна плоскости ( \alpha ), мы должны показать, что она не пересекает плоскость ( \alpha ) и что она не лежит в этой плоскости.

Шаги доказательства:

1. Определение точки средней линии трапеции:

   • Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон ( AB ) и ( CD ). Точка ( M ) — середина ( AB ), а точка ( N ) — середина ( CD ).

2. Параллельность средней линии основаниям трапеции:

   • Средняя линия трапеции параллельна обоим основаниям ( AD ) и ( BC ). Это следует из свойств трапеций в евклидовой геометрии.

3. Обозначение координат для ясности:

   • Пусть ( A(x_1, y_1, z_1) ), ( D(x_2, y_2, z_2) ), ( B(x_3, y_3, z_3) ), ( C(x_4, y_4, z_4) ).
   • Точки ( A ) и ( D ) лежат в плоскости ( \alpha ), следовательно, их координаты удовлетворяют уравнению плоскости ( \alpha ).

4. Координаты середины:

   • Координаты точки ( M ) (середина ( AB )): [ M \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}, \frac{z_1 + z_3}{2} \right) ]
   • Координаты точки ( N ) (середина ( CD )): [ N \left( \frac{x_2 + x_4}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2}, \frac{z_2 + z_4}{2} \right) ]

5. Мы знаем, что ( AD ) лежит в ( \alpha ):

   • Плоскость ( \alpha ) представляется уравнением ( Ax + By + Cz + D = 0 ).

6. Проверка параллельности:

   • Векторы ( \overrightarrow{AD} ) и ( \overrightarrow{BC} ) параллельны средней линии ( MN ).
   • Вектор ( \overrightarrow{AD} ) лежит в плоскости ( \alpha ), и направляющие векторы ( AD ) и ( MN ) совпадают по направлению.

7. Заключение:

   • Поскольку ( \overrightarrow{MN} ) параллелен ( \overrightarrow{AD} ), который лежит в плоскости ( \alpha ), прямая ( m ) параллельна плоскости ( \alpha ).
   • Прямая ( m ) не пересекает плоскость ( \alpha ) и не лежит в ней, так как вершина ( C ) не лежит в ( \alpha ).

Таким образом, мы доказали, что прямая ( m ), проходящая через середины боковых сторон трапеции, параллельна плоскости ( \alpha ).

Так как через середины боковых сторон трапеции проведена прямая, то она параллельна основанию трапеции. Так как вершина С не лежит в плоскости α, то прямая m, параллельная основанию трапеции, будет также параллельна плоскости α.