Основание прямого параллелепипеда – параллелограмм со сторонами 8 и 32 и острым углом α=60˚. Большая...

Для нахождения объема параллелепипеда необходимо найти его высоту.

Обозначим стороны параллелограмма как a = 8 и b = 32. Также обозначим высоту параллелограмма как h.

Известно, что большая диагональ параллелепипеда равна 40, а малая диагональ равна диагонали параллелограмма. Поэтому можем записать:

(d^2 = a^2 + b^2)

(40^2 = 8^2 + 32^2)

(1600 = 64 + 1024)

(1600 = 1088)

Отсюда находим малую диагональ д:

(d = \sqrt{1088})

(d = 32)

Зная, что малая диагональ параллелограмма равна высоте параллелепипеда, можем записать:

(h = 32)

Теперь можем найти объем параллелепипеда:

(V = S_{\text{основания}} \cdot h = a \cdot b \cdot h = 8 \cdot 32 \cdot 32 = 8192)

Ответ: объем параллелепипеда равен 8192.

Для решения задачи найдем объем прямого параллелепипеда, основанием которого является параллелограмм. Сначала определим площадь основания параллелепипеда, а затем используем данную информацию для нахождения объема.

1. Площадь основания параллелепипеда:

   Основание - параллелограмм со сторонами ( a = 8 ) и ( b = 32 ), и острым углом ( \alpha = 60^\circ ). Площадь ( S ) параллелограмма находится по формуле:

   [ S = a \cdot b \cdot \sin \alpha ]

   Подставим известные значения:

   [ S = 8 \cdot 32 \cdot \sin 60^\circ ]

   Зная, что ( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ), получаем:

   [ S = 8 \cdot 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 128\sqrt{3} ]

2. Определение высоты параллелепипеда:

   Известно, что большая диагональ параллелепипеда равна 40. Обозначим высоту параллелепипеда через ( h ). Диагональ параллелепипеда можно определить по теореме Пифагора в трехмерном пространстве:

   [ d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} ]

   Подставим известные значения:

   [ 40 = \sqrt{8^2 + 32^2 + h^2} ]

   [ 40 = \sqrt{64 + 1024 + h^2} ]

   [ 40 = \sqrt{1088 + h^2} ]

   Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

   [ 1600 = 1088 + h^2 ]

   [ h^2 = 512 ]

   [ h = \sqrt{512} = 16\sqrt{2} ]

3. Вычисление объема параллелепипеда:

   Объем ( V ) параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

   [ V = S \cdot h = 128\sqrt{3} \cdot 16\sqrt{2} ]

   [ V = 128 \cdot 16 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} ]

   [ V = 2048 \cdot \sqrt{6} ]

Таким образом, объем параллелепипеда равен ( 2048\sqrt{6} ).