Основание прямой призмы – равнобочная трапеция, одно из оснований которой в два раза больше другого....

Чтобы найти объем призмы, нам необходимо сначала определить площадь основания призмы, а затем умножить её на высоту призмы.

1. Анализ задачи:

   • Основание призмы — равнобочная трапеция.
   • Одно из оснований трапеции в два раза больше другого.
   • Непараллельные боковые грани — квадраты, что указывает на то, что боковые рёбра, перпендикулярные к основаниям трапеции, равны.
   • Высота призмы — 6 см.
   • Площадь боковой поверхности призмы — 144 см².

2. Определение длины боковых рёбер призмы:

   • Площадь боковой поверхности призмы состоит из площадей четырёх боковых граней.
   • Две из этих граней, которые представляют собой квадраты, имеют стороны, равные боковым рёбрам трапеции.
   • Пусть боковые рёбра трапеции равны ( a ). Тогда площадь одной квадратной грани будет ( a \times 6 = 6a ).
   • Поскольку таких граней две, их общая площадь будет ( 2 \times 6a = 12a ).
   • Оставшаяся часть боковой поверхности — это две боковые грани с параллельными сторонами трапеции, и их общая площадь будет ( (b_1 + b_2) \times 6 ), где ( b_1 ) и ( b_2 ) — основания трапеции.
   • Таким образом, уравнение для боковой поверхности будет: [ 12a + (b_1 + b_2) \times 6 = 144 ]

3. Вычисление параметров трапеции:

   • Из условия: ( b_2 = 2b_1 ).
   • Подставим в уравнение: [ 12a + (b_1 + 2b_1) \times 6 = 144 ] [ 12a + 18b_1 = 144 ]
   • Выразим одно из значений через другое: [ 12a = 144 - 18b_1 ] [ a = \frac{144 - 18b_1}{12} = 12 - 1.5b_1 ]

4. Вычисление площади основания трапеции:

   • Площадь основания (трапеции) равна: [ S_{\text{осн}} = \frac{(b_1 + b2)}{2} \times h{\text{трапеции}} ]
   • Поскольку трапеция равнобочная и боковые стороны равны ( a ), воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения высоты ( h{\text{трапеции}} ): [ h{\text{трапеции}} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b_2 - b_1}{2}\right)^2} ]
   • Подставим значения: [ h_{\text{трапеции}} = \sqrt{(12 - 1.5b_1)^2 - \left(\frac{2b_1 - b1}{2}\right)^2} ] [ h{\text{трапеции}} = \sqrt{(12 - 1.5b_1)^2 - \left(\frac{b_1}{2}\right)^2} ]
   • Подставим в формулу для площади: [ S_{\text{осн}} = \frac{(b_1 + 2b_1)}{2} \times \sqrt{(12 - 1.5b_1)^2 - \left(\frac{b1}{2}\right)^2} ] [ S{\text{осн}} = \frac{3b_1}{2} \times \sqrt{(12 - 1.5b_1)^2 - \frac{b_1^2}{4}} ]

5. Вычисление объёма призмы:

   • Объём призмы ( V ) равен: [ V = S{\text{осн}} \times \text{высоту призмы} = S{\text{осн}} \times 6 ]

Чтобы найти конкретные численные значения, требуется решить систему уравнений, полученных ранее. Однако, без дополнительных упрощений или численных значений решения могут быть сложными. В практических задачах часто используется численное решение или дополнительные условия для нахождения конкретных значений.

Объем призмы равен 432 кубическим сантиметрам.

Для решения этой задачи нам нужно найти боковую грань призмы. Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле Sб = 2 h (a + b), где h - высота призмы, a и b - основания трапеции.

По условию задачи, основание трапеции - равнобочная, а значит, стороны a и b будут равны 2x и x соответственно, где x - сторона более маленького основания трапеции.

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы Sб = 2 6 (2x + x) = 144 см². Отсюда получаем уравнение: 12x = 144. Решив его, найдем x = 12.

Теперь можем найти стороны основания трапеции: a = 2 * 12 = 24 см, b = 12 см.

Объем прямоугольной призмы вычисляется по формуле V = Sос * h, где Sос - площадь основания призмы.

Площадь основания призмы Sос = (a + b) h / 2 = (24 + 12) 6 / 2 = 36 * 6 / 2 = 108 см².

Теперь можем вычислить объем призмы: V = 108 * 6 = 648 см³.

Ответ: объем призмы равен 648 см³.