Основание прямоугольного параллелепипеда - квадрат, Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна...

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нам нужно знать площадь основания и высоту. В данном случае основание параллелепипеда — это квадрат, а высота известна и равна 4 см.

Обозначим сторону квадрата за ( a ). Тогда диагональ основания (квадрата) равна ( a\sqrt{2} ).

Пусть диагональ всего параллелепипеда равна ( d ). Согласно условию, она образует угол 45 градусов с плоскостью основания. Это означает, что проекция диагонали на плоскость основания равна высоте параллелепипеда.

Используя тригонометрию, мы можем записать: [ \cos 45^\circ = \frac{a\sqrt{2}}{d} ] и [ \sin 45^\circ = \frac{4}{d} ]

Поскольку (\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), у нас есть две равные пропорции: [ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{d} = \frac{4}{d} ]

Решим первое уравнение: [ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{d} \quad \Rightarrow \quad d = a ]

Решим второе уравнение: [ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{d} \quad \Rightarrow \quad d = 4\sqrt{2} ]

Следовательно, ( a = 4 ). Теперь мы можем найти объем параллелепипеда: [ V = a^2 \times h = 4^2 \times 4 = 16 \times 4 = 64 \, \text{см}^3 ]

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен 64 см³.

Для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда необходимо умножить площадь его основания на высоту.

Площадь основания параллелепипеда равна стороне квадрата, так как основание - квадрат. Пусть сторона квадрата равна а. Тогда площадь основания равна а^2.

Также нам дано, что высота параллелепипеда равна 4 см.

Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Зная, что диагональ параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его трех измерений (теорема Пифагора), мы можем составить уравнение:

d^2 = a^2 + a^2 + 4^2, d^2 = 2a^2 + 16, a^2 = (d^2 - 16) / 2.

Теперь найдем сторону квадрата, используя полученное уравнение.

Когда мы найдем сторону квадрата, мы можем найти объем параллелепипеда:

V = a^2 * h.