Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором AB =20 см , AC=29 см, BC = 21 см. Грани DAB...

Чтобы найти объем пирамиды DABC, необходимо сначала определить площадь основания (треугольника ABC) и высоту пирамиды.

Шаг 1: Находим площадь треугольника ABC

Для нахождения площади треугольника ABC можно использовать формулу Герона. Сначала найдем полупериметр ( s ):

[ s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{20 + 29 + 21}{2} = 35 \, \text{см} ]

Теперь вычислим площадь ( S ) по формуле Герона:

[ S = \sqrt{s(s - AB)(s - AC)(s - BC)} ]

Подставим значения:

[ S = \sqrt{35(35 - 20)(35 - 29)(35 - 21)} = \sqrt{35 \cdot 15 \cdot 6 \cdot 14} ]

Теперь вычислим произведение:

[ 35 \cdot 15 = 525 ] [ 6 \cdot 14 = 84 ] [ 525 \cdot 84 = 44100 ]

Теперь найдем корень:

[ S = \sqrt{44100} = 210 \, \text{см}^2 ]

Шаг 2: Находим высоту пирамиды

Грани DAB и DAC перпендикулярны к плоскости основания (считаем, что высота ( h ) пирамиды идет из точки D перпендикулярно к плоскости ABC). Для нахождения высоты DBC, которая составляет угол 60 градусов с плоскостью основания, используем тригонометрию.

Обозначим высоту от точки D до плоскости ABC как ( h ). В грани DBC угол между гранью и основанием равен 60 градусам. Следовательно, проекция высоты на плоскость основания будет равна ( h \cdot \cos(60^\circ) ), а высота ( h ) равна:

[ h = h_{DBC} \cdot \sin(60^\circ) ]

где ( h_{DBC} ) — высота из точки D до линии BC и равна высоте пирамиды.

Шаг 3: Объем пирамиды

Объем V пирамиды можно вычислить по формуле:

[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h ]

Теперь нам необходимо найти ( h ). Из условия задачи нам не дана конкретная высота, но мы можем выразить объем через ( h ):

[ V = \frac{1}{3} \cdot 210 \cdot h ]

Шаг 4: Подставим высоту в объем

Если мы предположим, что ( h_{DBC} ) (высота от точки D до основания) равна высоте ( h ), то объем можно записать как:

[ V = \frac{1}{3} \cdot 210 \cdot h ]

Если нам станет известна высота ( h ), то объем можно будет вычислить непосредственно. Если предположить, что ( h ) не задано, то объем будет зависеть от высоты.

Заключение

Таким образом, объем пирамиды DABC можно выразить через высоту ( h ):

[ V = 70h \quad \text{(где } h \text{ — высота пирамиды)} ]

Для окончательного результата нужно знать значение ( h ). Если ( h ) будет задано, можно подставить его в формулу для получения конкретного значения объема.

Для нахождения объема пирамиды (V), нужно использовать формулу:

[ V = \frac{1}{3} S_{ABC} h, ]

где (S_{ABC}) — площадь основания пирамиды (треугольника (ABC)), а (h) — высота пирамиды, проведённая из вершины (D) на плоскость основания.

Теперь разберём задачу подробно шаг за шагом.

Шаг 1. Проверка треугольника (ABC) и нахождение его площади

У нас дано:

[ AB = 20 \, \text{см}, \, AC = 29 \, \text{см}, \, BC = 21 \, \text{см}. ]

Площадь треугольника можно найти с использованием формулы Герона:

[ S_{ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)}, ]

где (p) — полупериметр треугольника:

[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{20 + 29 + 21}{2} = 35 \, \text{см}. ]

Подставляем значения в формулу Герона:

[ S_{ABC} = \sqrt{35(35 - 20)(35 - 29)(35 - 21)} = \sqrt{35 \cdot 15 \cdot 6 \cdot 14}. ]

Выполним вычисления под корнем:

[ 35 \cdot 15 = 525, \quad 6 \cdot 14 = 84, \quad 525 \cdot 84 = 44100. ]

Берём корень:

[ S_{ABC} = \sqrt{44100} = 210 \, \text{см}^2. ]

Итак, площадь основания треугольника:

[ S_{ABC} = 210 \, \text{см}^2. ]

Шаг 2. Высота (h) пирамиды

Грани (DAB) и (DAC) перпендикулярны плоскости основания. Это говорит о том, что точка (D) лежит на высоте, проведённой из вершины (D) на плоскость треугольника (ABC).

Также по условию сказано, что грань (DBC) наклонена к плоскости основания под углом (60^\circ). Это значит, что высота пирамиды (h) связана с длиной ребра (DC) следующим образом:

[ h = DC \cdot \sin 60^\circ. ]

А (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}). Следовательно:

[ h = DC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Теперь найдём (DC).

Шаг 3. Нахождение длины (DC)

Рассмотрим треугольник (DAC). Он прямоугольный (по условию), и его гипотенуза (AC = 29 \, \text{см}). Пусть длина (DC = x), а (AD = y).

По теореме Пифагора для треугольника (DAC):

[ AC^2 = AD^2 + DC^2. ]

Подставляем значения:

[ 29^2 = y^2 + x^2, ]

[ 841 = y^2 + x^2. \tag{1} ]

Теперь рассмотрим треугольник (DAB). Он также прямоугольный, и его гипотенуза (AB = 20 \, \text{см}). По теореме Пифагора:

[ AB^2 = AD^2 + DB^2. ]

Подставляем значения:

[ 20^2 = y^2 + DB^2, ]

[ 400 = y^2 + DB^2. \tag{2} ]

Шаг 4. Связь между (DB), (DC) и углом (60^\circ)

По условию, грань (DBC) наклонена под углом (60^\circ) к основанию. Это означает, что проекция ребра (DC) на плоскость основания равна (DB):

[ DB = DC \cdot \cos 60^\circ. ]

А (\cos 60^\circ = \frac{1}{2}), значит:

[ DB = \frac{DC}{2}. ]

Подставляем это в уравнение ((2)):

[ 400 = y^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2, ]

[ 400 = y^2 + \frac{x^2}{4}. ]

Умножим на 4 для удобства:

[ 1600 = 4y^2 + x^2. \tag{3} ]

Шаг 5. Решение системы уравнений

У нас есть система из двух уравнений:

1. (841 = y^2 + x^2,)
2. (1600 = 4y^2 + x^2.)

Вычтем из второго уравнения первое:

[ (1600 - 841) = (4y^2 + x^2) - (y^2 + x^2), ]

[ 759 = 3y^2. ]

Найдём (y^2):

[ y^2 = \frac{759}{3} = 253. ]

Теперь подставим (y^2 = 253) в первое уравнение:

[ 841 = 253 + x^2, ]

[ x^2 = 841 - 253 = 588. ]

Найдём (x):

[ x = \sqrt{588} = \sqrt{4 \cdot 147} = 2\sqrt{147} \approx 24.26 \, \text{см}. ]

Итак, (DC = x \approx 24.26 \, \text{см}).

Шаг 6. Нахождение высоты (h)

Высота (h) связана с (DC) так:

[ h = DC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Подставляем (DC \approx 24.26):

[ h \approx 24.26 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 24.26 \cdot 0.866 \approx 21 \, \text{см}. ]

Шаг 7. Нахождение объёма пирамиды

Используем формулу объёма:

[ V = \frac{1}{3} S_{ABC} h. ]

Подставляем найденные значения:

[ V = \frac{1}{3} \cdot 210 \cdot 21 \approx \frac{1}{3} \cdot 4410 \approx 1470 \, \text{см}^3. ]

Ответ:

Объём пирамиды равен:

[ \boxed{1470 \, \text{см}^3.} ]