Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 4корень из 3...

Для решения данной задачи начнем с анализа основания призмы, которое является параллелограммом ABCD. Из условия задачи известно, что стороны параллелограмма равны (4) см и (4\sqrt{3}) см, а один из углов равен 30 градусов. Пусть (AB = 4) см, (BC = 4\sqrt{3}) см.

1. Вычисление площади основания параллелограмма. Площадь параллелограмма можно найти по формуле: [ S = ab \sin \alpha, ] где (a) и (b) - стороны параллелограмма, а (\alpha) - угол между ними. Подставим известные значения: [ S = 4 \times 4\sqrt{3} \times \sin 30^\circ = 4 \times 4\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см}^2. ]

2. Нахождение высоты призмы (h). Из условия известно, что диагональ (AC_1) образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Мы уже знаем площадь основания, и (AC_1) можно найти как диагональ параллелограмма: [ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16 + 48} = 8 \text{ см}. ] Теперь, используя угол между (AC_1) и плоскостью (ABC): [ \cos 60^\circ = \frac{AC}{AC_1} = \frac{1}{2} = \frac{8}{AC_1}, ] откуда [ AC_1 = 16 \text{ см}. ] Так как (AC_1) также является гипотенузой треугольника (ACC_1), где (CC_1 = h), [ \sin 60^\circ = \frac{h}{AC_1} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{16}, ] откуда [ h = 8\sqrt{3} \text{ см}. ]

3. Вычисление площади боковой поверхности призмы. Боковая поверхность призмы состоит из четырех прямоугольников, каждый из которых имеет одну сторону равную высоте призмы (h) и другую сторону равную соответствующей стороне основания. Таким образом: [ S{\text{бок}} = 2(AB + BC) \times h = 2(4 + 4\sqrt{3}) \times 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3}(1 + \sqrt{3}) \text{ см}^2. ] Упрощаем: [ S{\text{бок}} = 16\sqrt{3} + 48 \text{ см}^2 = 16\sqrt{3} + 48 \text{ см}^2. ]

Итак, площадь боковой поверхности призмы равна (16\sqrt{3} + 48) см².

Для начала найдем высоту призмы. Рассмотрим треугольник ACS1. Так как угол между диагональю и плоскостью основания равен 60 градусов, то треугольник ACS1 является равнобедренным. Значит, угол ASC1 равен 60 градусов, а значит, угол ASC равен 120 градусов (так как угол ACS = 30 градусов).

Теперь найдем высоту призмы. Рассмотрим треугольник ASC. Мы знаем две стороны: AC = 4 см и SC1 = 4√3 см. Найдем третью сторону AS по теореме косинусов: AS² = AC² + SC1² - 2 AC SC1 cos(120°) AS² = 4² + (4√3)² - 2 4 4√3 cos(120°) AS² = 16 + 48 - 32√3 * (-0.5) AS² = 64 + 24 AS² = 88 AS = √88 = 2√22

Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы. Это равнобедренный трапеций со сторонами AS, SC1 и высотой h. Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (a + b) h / 2 S = (AS + SC1) h / 2 S = (2√22 + 4√3) * 4 S = 8√22 + 16√3

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна 8√22 + 16√3 квадратных сантиметров.