Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, катеты которого относятся как 2:3.Найдите...

Для начала найдем высоту прямоугольного треугольника, основанием которого является основание призмы. Пусть катеты треугольника равны 2x и 3x. Тогда гипотенуза треугольника равна sqrt((2x)^2 + (3x)^2) = sqrt(4x^2 + 9x^2) = sqrt(13x^2) = xsqrt(13). Так как объем призмы равен 48 см^3, можно записать уравнение: 1/3 (2x) (3x) (xsqrt(13)) = 48. Упростим уравнение: 2x^2 x sqrt(13) = 144, 2x^3 sqrt(13) = 144, x^3 sqrt(13) = 72, x^3 = 72/sqrt(13), x = (72/sqrt(13))^(1/3). Теперь найдем высоту призмы: h = x sqrt(13) = (72/sqrt(13))^(1/3) sqrt(13). Площадь боковой поверхности призмы равна: S = периметр основания h = (2x + 3x + 4) h = (5x + 4) h = (5 (72/sqrt(13))^(1/3) + 4) (72/sqrt(13))^(1/3) * sqrt(13).

Для решения задачи необходимо сначала найти площадь основания призмы, а затем использовать её для нахождения площади боковой поверхности.

1. Определение размеров треугольника в основании:

   Пусть катеты прямоугольного треугольника равны (2x) и (3x). Площадь треугольника (S_{\text{осн}}) можно найти по формуле для площади прямоугольного треугольника:

   [ S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 2x \times 3x = 3x^2 ]

2. Нахождение (x):

   Объем призмы задан и равен 48 см³. Объем прямой призмы выражается как произведение площади основания на высоту (боковое ребро в данном случае):

   [ V = S_{\text{осн}} \times h ]

   где (h = 4) см — высота призмы (боковое ребро).

   Подставляем известные значения:

   [ 48 = 3x^2 \times 4 ]

   [ 48 = 12x^2 ]

   [ x^2 = \frac{48}{12} = 4 ]

   [ x = \sqrt{4} = 2 ]

3. Нахождение катетов:

   Подставив найденное значение (x), получаем длины катетов:

   [ 2x = 4 \quad \text{см} ]

   [ 3x = 6 \quad \text{см} ]

4. Нахождение периметра основания:

   Периметр прямоугольного треугольника (P_{\text{осн}}) равен сумме длин всех его сторон. Чтобы найти гипотенузу, воспользуемся теоремой Пифагора:

   [ c = \sqrt{(2x)^2 + (3x)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} ]

   Периметр треугольника:

   [ P_{\text{осн}} = 4 + 6 + 2\sqrt{13} ]

5. Вычисление площади боковой поверхности:

   Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:

   [ S{\text{бок}} = P{\text{осн}} \times h = (4 + 6 + 2\sqrt{13}) \times 4 ]

   [ S_{\text{бок}} = (10 + 2\sqrt{13}) \times 4 ]

   [ S_{\text{бок}} = 40 + 8\sqrt{13} ]

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна (40 + 8\sqrt{13}) квадратных сантиметров.