Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом...

Для нахождения высоты призмы можно воспользоваться теоремой Пифагора, так как основание призмы является прямоугольным треугольником.

Известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов равен 5 см. Тогда второй катет можно найти, применяя теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2, 5^2 + b^2 = 13^2, 25 + b^2 = 169, b^2 = 144, b = 12.

Теперь мы знаем, что второй катет равен 12 см. Следовательно, высота призмы равна радиусу окружности, вписанной в основание. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности гипотенузы и суммы катетов: r = (c - a + b) / 2, r = (13 - 5 + 12) / 2, r = 10 / 2, r = 5.

Таким образом, высота призмы равна радиусу окружности и составляет 5 см.

Для начала, давайте разберемся с треугольником, который лежит в основании прямой треугольной призмы. У нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой (c = 13) см и одним из катетов (a = 5) см. Мы найдем второй катет (b) с помощью теоремы Пифагора:

[c^2 = a^2 + b^2]

[13^2 = 5^2 + b^2]

[169 = 25 + b^2]

[b^2 = 169 - 25]

[b^2 = 144]

[b = 12]

Таким образом, второй катет равен 12 см.

Теперь нам нужно найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Для этого используем формулу радиуса вписанной окружности (r) для прямоугольного треугольника:

[r = \frac{a + b - c}{2}]

Подставим известные значения:

[r = \frac{5 + 12 - 13}{2}]

[r = \frac{4}{2}]

[r = 2]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 2 см, и, как сказано в условии задачи, это также высота призмы.

Теперь, когда мы знаем все необходимые размеры, можем найти объем призмы. Объем прямой треугольной призмы рассчитывается как произведение площади основания на высоту призмы.

Площадь основания (S) (прямоугольного треугольника) находим как:

[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b]

Подставим значения:

[S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12]

[S = \frac{1}{2} \cdot 60]

[S = 30 \, \text{см}^2]

Высота призмы равна 2 см. Теперь можем найти объем (V):

[V = S \cdot \text{высота}]

[V = 30 \, \text{см}^2 \cdot 2 \, \text{см}]

[V = 60 \, \text{см}^3]

Таким образом, объем данной прямой треугольной призмы равен 60 кубическим сантиметрам.