Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите что PE // QF.

Для доказательства того, что $PE\parallel QF$, мы можем использовать свойства средних линий и параллельных отрезков в геометрии. Рассмотрим отрезки $EF$ и $PQ$, которые пересекаются в точке $M$, причем $M$ является их общей серединой. Это означает, что $M$ делит каждый из отрезков $EF$ и $PQ$ пополам.

Обозначим точки пересечения следующим образом:

• $E$ и $F$ — концы отрезка $EF$;
• $P$ и $Q$ — концы отрезка $PQ$;
• $M$ — точка пересечения отрезков $EF$ и $PQ$.

Поскольку $M$ является серединой отрезков $EF$ и $PQ$, мы можем записать: $EM=MF\text{и}PM=MQ.$

Теперь рассмотрим треугольник $EPQ$. Отрезок $EF$ пересекает его в точке $M$, которая является серединой $PQ$. Аналогично, отрезок $PQ$ пересекает его в точке $M$, которая является серединой $EF$.

По теореме о средней линии треугольника, если отрезок соединяет середины двух сторон треугольника, то он параллелен третьей стороне и равен половине её длины. Таким образом, в треугольнике $EPQ$:

1. $M$ — середина $PQ$.
2. Отрезок $MF$ соединяет середину стороны $PQ$ с точкой $F$, которая является одной из вершин треугольника $EPQ$.

Используя теорему о средней линии, мы можем утверждать, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне. В нашем случае $MF\parallel EQ$.

Аналогично, отрезок $ME$ соединяет середину стороны $PQ$ с точкой $E$. По теореме о средней линии, отрезок $ME\parallel FP$.

Следовательно, из свойств параллельных отрезков и средней линии треугольника следует, что $PE\parallel QF$.

Таким образом, мы доказали, что $PE\parallel QF$, используя теорему о средней линии треугольника и свойства параллельных отрезков.

Так как отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М, то EM = MF и PM = MQ. Из этого следует, что треугольники PEM и QFM подобны по двум сторонам, значит углы PEF и QFE равны. Таким образом, получаем, что PE параллелен QF.

Для доказательства того, что отрезки PE и QF параллельны, рассмотрим треугольники PEM и QFM.

Так как точка М - середина отрезков EF и PQ, то EM = MF и MQ = QP. Также угол PEM равен углу QFM, так как они оба вершина угла, который образован пересекающимися отрезками EF и PQ.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники PEM и QFM. У них равны гипотенузы $EM=MF$, равны углы $PEM=QFM$ и общий угол $MEF=MFQ$. По признаку подобия углов треугольников, мы можем сделать вывод, что треугольники PEM и QFM подобны.

Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны параллельны. Таким образом, отрезки PE и QF действительно параллельны.