Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите что PE // QF.

Для доказательства того, что ( PE \parallel QF ), мы можем использовать свойства средних линий и параллельных отрезков в геометрии. Рассмотрим отрезки ( EF ) и ( PQ ), которые пересекаются в точке ( M ), причем ( M ) является их общей серединой. Это означает, что ( M ) делит каждый из отрезков ( EF ) и ( PQ ) пополам.

Обозначим точки пересечения следующим образом:

• ( E ) и ( F ) — концы отрезка ( EF );
• ( P ) и ( Q ) — концы отрезка ( PQ );
• ( M ) — точка пересечения отрезков ( EF ) и ( PQ ).

Поскольку ( M ) является серединой отрезков ( EF ) и ( PQ ), мы можем записать: [ EM = MF \quad \text{и} \quad PM = MQ. ]

Теперь рассмотрим треугольник ( EPQ ). Отрезок ( EF ) пересекает его в точке ( M ), которая является серединой ( PQ ). Аналогично, отрезок ( PQ ) пересекает его в точке ( M ), которая является серединой ( EF ).

По теореме о средней линии треугольника, если отрезок соединяет середины двух сторон треугольника, то он параллелен третьей стороне и равен половине её длины. Таким образом, в треугольнике ( EPQ ):

1. ( M ) — середина ( PQ ).
2. Отрезок ( MF ) соединяет середину стороны ( PQ ) с точкой ( F ), которая является одной из вершин треугольника ( EPQ ).

Используя теорему о средней линии, мы можем утверждать, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне. В нашем случае ( MF \parallel EQ ).

Аналогично, отрезок ( ME ) соединяет середину стороны ( PQ ) с точкой ( E ). По теореме о средней линии, отрезок ( ME \parallel FP ).

Следовательно, из свойств параллельных отрезков и средней линии треугольника следует, что ( PE \parallel QF ).

Таким образом, мы доказали, что ( PE \parallel QF ), используя теорему о средней линии треугольника и свойства параллельных отрезков.

Так как отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М, то EM = MF и PM = MQ. Из этого следует, что треугольники PEM и QFM подобны по двум сторонам, значит углы PEF и QFE равны. Таким образом, получаем, что PE параллелен QF.

Для доказательства того, что отрезки PE и QF параллельны, рассмотрим треугольники PEM и QFM.

Так как точка М - середина отрезков EF и PQ, то EM = MF и MQ = QP. Также угол PEM равен углу QFM, так как они оба вершина угла, который образован пересекающимися отрезками EF и PQ.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники PEM и QFM. У них равны гипотенузы (EM = MF), равны углы (PEM = QFM) и общий угол (MEF = MFQ). По признаку подобия углов треугольников, мы можем сделать вывод, что треугольники PEM и QFM подобны.

Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны параллельны. Таким образом, отрезки PE и QF действительно параллельны.