Отрезок АB длины а разделён точками Р и Q на три отрезка:AP,PQ,QB так, что AP=2QB=2PQ.Найдите расстояние...

Чтобы решить задачу, сначала выразим длины отрезков (AP), (PQ) и (QB) через известную длину (AB = a).

Дано, что (AP = 2QB = 2PQ). Обозначим через (x) длину отрезка (PQ). Тогда:

[ AP = 2x, ] [ PQ = x, ] [ QB = \frac{1}{2} \cdot AP = x. ]

Сумма всех отрезков равна длине отрезка (AB), поэтому:

[ AP + PQ + QB = a. ]

Подставим выражения через (x):

[ 2x + x + x = a. ]

Это упрощается до:

[ 4x = a. ]

Отсюда находим:

[ x = \frac{a}{4}. ]

Теперь можем найти длины всех отрезков:

[ AP = 2x = \frac{a}{2}, ] [ PQ = x = \frac{a}{4}, ] [ QB = x = \frac{a}{4}. ]

Теперь ответим на поставленные вопросы.

a) Найдите расстояние между точкой (A) и серединой отрезка (QB).

Середина отрезка (QB) — это точка, которая делит (QB) пополам. Поскольку (QB = \frac{a}{4}), середина отрезка (QB) находится на расстоянии (\frac{a}{8}) от точки (Q).

Положение точек на отрезке:

• (A) находится в начале отрезка (AB).
• (Q) находится на расстоянии (AP + PQ = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} = \frac{3a}{4}) от точки (A).

Таким образом, середина (QB) находится на расстоянии:

[ \frac{3a}{4} + \frac{a}{8} = \frac{6a}{8} + \frac{a}{8} = \frac{7a}{8} ]

от точки (A).

b) Найдите расстояние между серединами отрезков (AP) и (QB).

Середина отрезка (AP) находится на расстоянии (\frac{AP}{2} = \frac{a}{4}) от точки (A).

Мы уже нашли, что середина отрезка (QB) находится на расстоянии (\frac{7a}{8}) от точки (A).

Теперь найдем расстояние между серединами:

[ \frac{7a}{8} - \frac{a}{4} = \frac{7a}{8} - \frac{2a}{8} = \frac{5a}{8}. ]

Таким образом, расстояние между серединой отрезка (AP) и серединой отрезка (QB) равно (\frac{5a}{8}).

a) Для нахождения расстояния между точкой А и серединой отрезка QB нам необходимо вычислить длину отрезка QB. Из условия известно, что AP=2QB и PQ=QB/2. Таким образом, AP=2(QB/2)=QB. Значит, отрезок QB равен а/4.

Теперь нам нужно найти расстояние между точкой А и серединой отрезка QB. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Пусть отрезок между А и серединой отрезка QB равен х. Тогда по теореме Пифагора получаем:

х^2 + (а/4)^2 = а^2

Решая это уравнение, мы найдем, что расстояние между точкой А и серединой отрезка QB равно sqrt(15)*а/4.

b) Для нахождения расстояния между серединами отрезков АР и QB нам необходимо вычислить длину отрезка AR. Из условия известно, что AP=2QB и PQ=QB/2. Таким образом, AP=2(QB/2)=QB. Значит, отрезок QB равен а/4, а отрезок AR равен 3а/4.

Теперь нам нужно найти расстояние между серединами отрезков АР и QB. Поскольку эти два отрезка перпендикулярны друг другу и каждый из них делится на две равные части, расстояние между их серединами будет равно половине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами в виде отрезков AR и QB.

Таким образом, расстояние между серединами отрезков АР и QB равно sqrt((3а/4)^2 + (а/4)^2) = sqrt(10)*а/4.