Отрезок AB пересекают плоскость α в точке C. Через точки A и B проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость α в точках A1 и B1. а) Докажите, что A1, B1 и Cлежат на одной прямой. б) Найдите AB, если AA1=9см, BB1=3см, AC=6см.
Отрезок AB пересекают плоскость α в точке C. Через точки A и B проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость α в точках A1 и B1. а) Докажите, что A1, B1 и Cлежат на одной прямой. б) Найдите AB, если AA1=9см, BB1=3см, AC=6см.
a) Чтобы доказать, что точки ( A_1, B_1 ) и ( C ) лежат на одной прямой, рассмотрим следующие рассуждения:
Пусть отрезок ( AB ) пересекает плоскость ( \alpha ) в точке ( C ). Это означает, что точка ( C ) лежит как на отрезке ( AB ), так и на плоскости ( \alpha ).
Теперь рассмотрим параллельные прямые, проходящие через точки ( A ) и ( B ), которые пересекают плоскость ( \alpha ) в точках ( A_1 ) и ( B_1 ) соответственно. Точки ( A_1 ) и ( B_1 ) лежат на плоскости ( \alpha ) по определению.
Поскольку прямые, проходящие через ( A ) и ( B ), параллельны, а ( AB ) пересекает плоскость ( \alpha ) в точке ( C ), то точки ( A_1, B_1 ) и ( C ) являются пересечениями этих прямых с плоскостью ( \alpha ) и, следовательно, лежат на одной прямой в этой плоскости. Это можно объяснить с использованием теоремы о пересечении параллельных прямых с плоскостью, где если две параллельные прямые пересекают плоскость, то их точки пересечения с этой плоскостью и точка пересечения секущей с плоскостью лежат на одной прямой.
б) Для нахождения длины отрезка ( AB ), воспользуемся свойствами подобия треугольников.
Рассмотрим треугольники ( \triangle A_1AC ) и ( \triangle B_1BC ). Из условия задачи следует, что ( A_1A \parallel B_1B ), поэтому эти треугольники подобны.
Из подобия следует пропорция:
[ \frac{A_1A}{A_1C} = \frac{B_1B}{B_1C} ]
Из условия задачи мы знаем:
Поскольку ( C ) является точкой пересечения ( AB ) с плоскостью, и ( A_1A \parallel B_1B ), мы можем также выразить отношения:
[ \frac{A_1A}{AC} = \frac{B_1B}{BC} ]
Подставим известные значения:
[ \frac{9}{6} = \frac{3}{BC} ]
Решим это уравнение для ( BC ):
[ \frac{3}{BC} = \frac{9}{6} \Rightarrow BC = \frac{3 \times 6}{9} = 2 \text{ см} ]
Таким образом, общая длина отрезка ( AB ) будет равна сумме ( AC ) и ( BC ):
[ AB = AC + BC = 6 + 2 = 8 \text{ см} ]
Таким образом, длина отрезка ( AB ) равна 8 см.
а) Для доказательства того, что точки A1, B1 и C лежат на одной прямой, мы можем воспользоваться теоремой о параллельных прямых, пересекающих плоскость. Поскольку прямые AB и A1B1 параллельны, то у них есть общая точка C, следовательно, точки A1, B1 и C лежат на одной прямой.
б) Из условия задачи мы знаем, что AC=6см, AA1=9см и BB1=3см. Поскольку треугольники ABC и A1B1C подобны (по принципу угловой подобности), то отношение длин сторон в этих треугольниках равно отношению соответствующих сторон: AC/AA1 = BC/B1C.
Подставляя известные значения, получим: 6/9 = AB/3.
Отсюда AB = 2см.
