Отрезок МН пересекает некоторую плоскость в точке К. Через концы отрезка проведены прямые НР и МЕ, перпендикулярные...

РЕ = 15 см

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами подобных треугольников.

Итак, пусть отрезок МН представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника НМК, а отрезки НР и МЕ - катеты этого треугольника.

Сначала найдем отрезок КР, который является катетом треугольника НМК. Используя теорему Пифагора, получаем: КР = √(НК² - НР²) = √(5² - 4²) = √(25 - 16) = √9 = 3 см

Теперь выразим длину отрезка РЕ через отрезки МЕ и КР. Так как треугольники НРК и МЕК подобны (по двум углам), то отношение длин их сторон равно: НР/МЕ = НК/КР

Подставим известные значения и найдем длину РЕ: 4/12 = 5/3 РЕ = МЕ 3/5 = 12 3/5 = 7.2 см

Таким образом, длина отрезка РЕ равна 7.2 см.

Чтобы найти длину отрезка ( PE ), рассмотрим пространственную геометрическую конфигурацию. Из условия задачи следует, что ( HP ) и ( ME ) перпендикулярны плоскости. Если представить плоскость в виде горизонтальной плоскости, то ( HP ) и ( ME ) будут направлены вертикально вверх от этой плоскости.

1. Определение точки ( K ): Поскольку отрезок ( MN ) пересекает плоскость в точке ( K ), и известно, что ( HK = 5 ) см, можем предположить, что отрезок ( MN ) также лежит перпендикулярно к плоскости (хотя это не является обязательным условием для решения задачи).

2. Расстояние ( HP ) и ( ME ): Известно, что ( HP = 4 ) см и ( ME = 12 ) см. Это означает, что точка ( P ) находится на 4 см выше плоскости, а точка ( E ) — на 12 см выше плоскости.

3. Расположение точек относительно плоскости: Точка ( K ) является проекцией обоих концов ( M ) и ( N ) на плоскость, так как ( MN ) пересекает плоскость в точке ( K ). Следовательно, проекции ( P ) и ( E ) на плоскость совпадают с точкой ( K ).

4. Нахождение ( PE ): Так как ( P ) и ( E ) расположены вертикально над ( K ), а их высоты над плоскостью равны 4 см и 12 см соответственно, то вертикальное расстояние между ( P ) и ( E ) равно разности их высот: ( 12 \text{ см} - 4 \text{ см} = 8 \text{ см} ).

Таким образом, длина отрезка ( PE ) в пространстве составляет 8 см.