Отрезок пересекает плоскость; а его концы отстоят от плоскости на 3 и 12 см. Найти расстояние от середины...

Для решения задачи рассмотрим отрезок ( AB ), который пересекает плоскость ( \pi ). Пусть ( A ) и ( B ) — концы отрезка, причём точка ( A ) находится на расстоянии ( 3 ) см от плоскости ( \pi ), а точка ( B ) — на расстоянии ( 12 ) см.

Обозначим середину отрезка ( AB ) через точку ( M ). Нам нужно найти расстояние от точки ( M ) до плоскости ( \pi ).

Для начала определим, как вычислить это расстояние. Мы можем использовать тот факт, что середина отрезка делит его на две равные части. Рассмотрим проекции точек ( A ) и ( B ) на плоскость ( \pi ). Обозначим эти проекции как ( A' ) и ( B' ).

Так как ( A ) и ( B ) находятся на разных расстояниях от плоскости, отрезок ( AB ) пересекает плоскость, и его проекция на плоскость ( \pi ) будет отрезок ( A'B' ).

Теперь заметим, что проекция точки ( M ) на плоскость ( \pi ) будет точкой ( M' ), которая является серединой отрезка ( A'B' ).

Рассмотрим отрезок ( AM ) и ( MB ). Так как точка ( M ) — середина отрезка ( AB ), то: [ AM = MB = \frac{AB}{2}. ]

Теперь рассмотрим треугольник ( AMA' ) и ( BMB' ). В этих треугольниках высоты, проведённые из точек ( A ) и ( B ) к плоскости ( \pi ), равны ( 3 ) см и ( 12 ) см соответственно.

Так как расстояние от точки ( A ) до плоскости ( \pi ) равно ( 3 ) см, а от точки ( B ) до плоскости ( \pi ) — ( 12 ) см, и точка ( M ) делит отрезок ( AB ) пополам, то расстояние от точки ( M ) до плоскости можно найти, взяв среднее арифметическое расстояний от точек ( A ) и ( B ) до плоскости.

Формально это можно записать как: [ d(M, \pi) = \frac{d(A, \pi) + d(B, \pi)}{2} = \frac{3 \, \text{см} + 12 \, \text{см}}{2} = \frac{15 \, \text{см}}{2} = 7.5 \, \text{см}. ]

Таким образом, расстояние от середины отрезка ( AB ) до плоскости ( \pi ) равно ( 7.5 ) см.

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться теоремой о расстоянии от точки до плоскости.

Итак, пусть отрезок пересекает плоскость в точках A и B, причем расстояния от точек A и B до плоскости равны 3 см и 12 см соответственно. Пусть M - середина отрезка AB. Тогда, по определению, середина отрезка равноудалена от его концов. То есть AM = MB.

Теперь, чтобы найти расстояние от середины отрезка до плоскости, нужно найти расстояние от любой точки отрезка до плоскости. Для этого воспользуемся формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),

где (A, B, C) - коэффициенты уравнения плоскости, (x, y, z) - координаты точки, D - свободный член уравнения плоскости.

Поскольку у нас нет конкретного уравнения плоскости, мы можем взять общее уравнение плоскости в виде Ax + By + Cz + D = 0. Тогда координаты середины отрезка M(x, y, z) будут равны среднему арифметическому координат точек A и B.

Таким образом, мы можем найти расстояние от середины отрезка до плоскости, используя найденные координаты середины отрезка и общее уравнение плоскости.