Параллельно оси цилиндра поведена плоскость, пересекающая основание цилиндра по хорде, стягивающей угол...

Для решения задачи о нахождении объема цилиндра, рассмотрим все данные и поэтапно разберем все шаги.

Дано:

1. Цилиндр с радиусом основания ( R ).
2. Плоскость пересекает основание цилиндра по хорде, стягивающей угол ( \alpha ).
3. Диагональ полученного сечения равна ( d ) и наклонена к плоскости основания под углом ( \beta ).

Требуется:

Найти объем цилиндра.

Решение:

Шаг 1: Определение длины хорды

Хорда в основании цилиндра стягивает угол ( \alpha ). Длина хорды ( AB ) в круге радиуса ( R ) выражается через формулу: [ AB = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) ]

Шаг 2: Построение сечения цилиндра

Плоскость, проходящая через хорду ( AB ) и параллельно оси цилиндра, образует прямоугольник ( ABCD ), где ( AB ) — хорда основания, а ( CD ) — противоположная хорда на другом основании цилиндра. Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра ( H ).

Шаг 3: Диагональ прямоугольника

Диагональ ( AD ) прямоугольника ( ABCD ) вычисляется по теореме Пифагора: [ AD = \sqrt{AB^2 + H^2} ]

Нам дана длина диагонали ( d ) и угол наклона ( \beta ). Диагональ ( AD ) наклонена к плоскости основания цилиндра под углом ( \beta ), что даёт возможность выразить высоту ( H ) через ( d ):

[ \cos(\beta) = \frac{AB}{d} ] [ AB = d \cos(\beta) ]

Также имеем: [ \sin(\beta) = \frac{H}{d} ] [ H = d \sin(\beta) ]

Шаг 4: Подстановка и решение

Из формулы длины хорды: [ 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = d \cos(\beta) ] Отсюда: [ R = \frac{d \cos(\beta)}{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} ]

Высота цилиндра: [ H = d \sin(\beta) ]

Шаг 5: Объем цилиндра

Объем цилиндра ( V ) вычисляется по формуле: [ V = \pi R^2 H ]

Подставим найденные ( R ) и ( H ): [ V = \pi \left(\frac{d \cos(\beta)}{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right)^2 \cdot d \sin(\beta) ] [ V = \pi \cdot \frac{d^2 \cos^2(\beta)}{4 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \cdot d \sin(\beta) ] [ V = \pi \cdot \frac{d^3 \cos^2(\beta) \sin(\beta)}{4 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} ]

Таким образом, объем цилиндра: [ V = \frac{\pi d^3 \cos^2(\beta) \sin(\beta)}{4 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} ]

Ответ:

Объем цилиндра ( V ) равен: [ V = \frac{\pi d^3 \cos^2(\beta) \sin(\beta)}{4 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} ]

Рисунок:

           A
         /|\
        / | \
       /  |  \
      /   |   \
     /    |    \
    /_____|_____\
   B       |     C
            D

На рисунке:

• ( AB ) — хорда в основании цилиндра, стягивающая угол ( \alpha ).
• ( AD ) — диагональ сечения, наклоненная под углом ( \beta ).
• ( H ) — высота цилиндра.

Теперь у вас есть подробное решение задачи с расчетами и формулами.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться геометрическими свойствами цилиндра и прямоугольного треугольника, образованного диагональю сечения.

Пусть радиус основания цилиндра равен R, а высота цилиндра h.

На рисунке ниже изображена ситуация:

             B
           / |
          /  | d
         /   |
        /____|_____
       A     C     D

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AC - диагональ сечения, AB - радиус основания цилиндра R, а BC - половина хорды, стягивающей угол а.

Из геометрии прямоугольного треугольника следует, что: BC = AB sin(a/2) = R sin(a/2)

Также из условия задачи известно, что угол ABC равен b, тогда угол BAC равен (90 - b).

Теперь мы можем записать высоту прямоугольного треугольника ABC: h_ABC = AC sin(90 - b) = d sin(90 - b)

По теореме Пифагора для треугольника ABC: (BC)^2 + (AB)^2 = (AC)^2 (R sin(a/2))^2 + R^2 = d^2 R^2 sin^2(a/2) + R^2 = d^2 R^2 (sin^2(a/2) + 1) = d^2 R^2 (1 - cos(a)) = d^2 R^2 = d^2 / (1 - cos(a))

Теперь мы можем найти объем цилиндра: V = π R^2 h = π (d^2 / (1 - cos(a))) h

Таким образом, мы можем найти объем цилиндра, зная длину диагонали сечения, угол а и высоту цилиндра.