Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, пересекающая нижнее основание по хорде, стягивающей дугу...

Чтобы найти площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, нужно рассмотреть геометрические отношения в этой задаче.

1. Геометрия цилиндра и сечения:

   • Рассмотрим цилиндр с радиусом основания ( R ) и высотой ( h ).
   • Пусть плоскость пересекает нижнее основание цилиндра по хорде, стягивающей дугу ( \alpha ).

2. Положение и длина хорды:

   • Длина хорды ( AB ), стягивающей дугу ( \alpha ), в круге радиуса ( R ) определяется формулой: [ AB = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) ]

3. Отрезок и угол:

   • Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра ( O' ) с концом хорды ( A ), равен ( l ) и образует угол ( \beta ) с плоскостью основания. Это означает, что проекция отрезка ( O'A ) на плоскость основания будет: [ O'A \cdot \cos(\beta) = l \cos(\beta) ]

4. Площадь сечения:

   • Плоскость проходит через всю высоту цилиндра и параллельна его оси, следовательно, она будет пересекать цилиндр по прямоугольнику.
   • Одна из сторон прямоугольника — это длина хорды ( AB ).
   • Другая сторона — это высота цилиндра, умноженная на проекцию отрезка на горизонтальную плоскость, что учитывает наклон плоскости: [ h \cos(\beta) ]

5. Вывод формулы для площади:

   • Таким образом, площадь сечения ( S ) будет равна произведению этих двух сторон: [ S = AB \cdot h \cos(\beta) = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot h \cos(\beta) ]

Итак, площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, выражается через радиус основания ( R ), угол дуги ( \alpha ), высоту цилиндра ( h ) и угол наклона плоскости ( \beta ).

Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус цилиндра и длину хорды.

Поскольку отрезок, соединяющий центр верхнего основания с концом хорды, равен l, то мы можем построить прямоугольный треугольник, в котором этот отрезок будет гипотенузой, радиус цилиндра - одним из катетов, а отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой пересечения плоскости и верхнего основания - другим катетом. Таким образом, получаем следующее уравнение: r^2 + (l/2)^2 = R^2, где r - радиус цилиндра, R - радиус описанной окружности, l - длина хорды.

Из условия задачи мы знаем, что хорда стягивает дугу альфа, то есть угол, заключенный между радиусами цилиндра и хорды, равен альфа/2. Таким образом, мы можем построить прямоугольный треугольник, в котором радиус цилиндра будет гипотенузой, отрезок, соединяющий центр верхнего основания с концом хорды, будет одним из катетов, а отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой пересечения плоскости и верхнего основания, будет другим катетом. Таким образом, получаем следующее уравнение: r/(l/2) = sin(α/2), где α - угол, заключенный между радиусами цилиндра и хорды.

Из этих уравнений можно найти радиус цилиндра r и далее с помощью формулы для площади сечения цилиндра (S = π * r^2) найти площадь сечения.