Периметр правильного треугольника вписанного в окружность равно 45 см найти сторону правильного 8-угольника...

Для начала рассмотрим правильный треугольник, вписанный в окружность. Периметр правильного треугольника равен сумме его трех сторон. Поскольку треугольник правильный, все его стороны равны между собой. Обозначим длину одной стороны треугольника как а.

Таким образом, периметр треугольника равен 3а, и по условию он равен 45 см. Это означает, что 3а = 45, откуда а = 15 см.

Теперь нам нужно найти сторону правильного 8-угольника, вписанного в ту же окружность. Так как 8-угольник делится на 8 равных треугольников, каждый угол 8-угольника равен 45 градусов, что является результатом деления 360 градусов на 8.

Для нахождения длины стороны воспользуемся тем, что центральный угол 8-угольника равен 45 градусов. Поскольку в центральном угле удвоенный угол, образуемый двумя радиусами, равен 90 градусам, получаем, что треугольник с вершиной в центре окружности, образованный двумя радиусами и стороной 8-угольника, является прямоугольным.

Получаем, что сторона 8-угольника равна радиусу окружности, который является гипотенузой прямоугольного треугольника. Так как у нас есть длина стороны правильного треугольника, равная 15 см, радиус можно найти, разделив сторону треугольника на корень из 2 (так как это отношение стороны к гипотенузе прямоугольного треугольника).

Таким образом, сторона 8-угольника вписанного в ту же окружность равна 15/√2 см, что приблизительно равно 10,61 см.

Чтобы найти сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность, в которую вписан правильный треугольник с периметром 45 см, нам нужно понять несколько ключевых моментов геометрии.

1. Нахождение радиуса окружности:

   • Поскольку треугольник правильный (равносторонний), его периметр равен 45 см.
   • Тогда каждая сторона треугольника равна ( \frac{45}{3} = 15 ) см.
   • Радиус окружности, в которую вписан правильный треугольник со стороной ( a ), можно найти по формуле: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ] где ( a ) — сторона треугольника.
   • Подставляя значение ( a = 15 ), получаем: [ R = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} \text{ см} ]

2. Нахождение стороны правильного восьмиугольника:

   • Правильный восьмиугольник также вписан в ту же окружность радиусом ( R = 5\sqrt{3} ).
   • Сторону правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса ( R ), можно найти по формуле: [ s = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) ] где ( n ) — количество сторон многоугольника.
   • Для восьмиугольника ( n = 8 ), тогда: [ s = 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) ]

3. Вычисление значения:

   • Значение ( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) ) можно найти через известное тригонометрическое тождество: [ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}} ]
     • Так как ( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} ), подставляем в формулу: [ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} ]

4. Подставление значения в формулу:

   • Теперь подставляем значение ( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) ): [ s = 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} ]

Таким образом, сторона правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность, равна ( 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} ) сантиметров.

Периметр правильного 8-угольника, вписанного в окружность равен периметру правильного треугольника, то есть 45 см. Следовательно, сторона правильного 8-угольника равна 45/8 = 5.625 см.