Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45см. Найти сторону правильного шестиугольника...

Чтобы решить эту задачу, нужно вспомнить некоторые свойства правильных многоугольников и их вписанных окружностей.

1. Правильный треугольник (равносторонний треугольник) и его отношение к описанной окружности:

   • Если правильный треугольник вписан в окружность, все его вершины касаются окружности.
   • Периметр треугольника равен 45 см, следовательно, каждая его сторона равна ( \frac{45}{3} = 15 ) см.
   • В равностороннем треугольнике каждая сторона равна радиусу окружности, умноженному на ( \sqrt{3} ) (поскольку высота разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника с углами 30-60-90).

2. Правильный шестиугольник и его отношение к описанной окружности:

   • Правильный шестиугольник также может быть вписан в ту же окружность.
   • В правильном шестиугольнике каждая сторона равна радиусу окружности. Это связано с тем, что правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников, каждый из которых имеет вершины в центре окружности и на её окружности.

3. Вычисление стороны шестиугольника:

   • Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 15 см, является расстоянием от центра окружности до любой её вершины.
   • Поскольку радиус также является стороной вписанного правильного шестиугольника, сторона правильного шестиугольника равна радиусу окружности.
   • Используя формулу для радиуса описанной окружности около равностороннего треугольника ( R = \frac{a}{\sqrt{3}} ), где ( a ) - сторона треугольника: [ R = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15 \cdot \sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} ]

Таким образом, сторона правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность, равна ( 5\sqrt{3} ) см.

Для начала найдем длину стороны правильного треугольника, вписанного в окружность. Поскольку треугольник равносторонний, то его периметр равен 3 * сторона. Из условия задачи известно, что периметр треугольника равен 45 см, следовательно, сторона треугольника равна 45 / 3 = 15 см.

Теперь рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в ту же окружность. Шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников, вписанных в этот шестиугольник. Каждый угол шестиугольника равен 360 градусов / 6 = 60 градусов.

Таким образом, каждый треугольник имеет угол 60 градусов и одну из сторон равную радиусу окружности. Поскольку радиус окружности равен половине длины стороны треугольника, то радиус равен 15 / 2 = 7.5 см.

Теперь можем найти длину стороны шестиугольника, применяя теорему косинусов к любому из треугольников:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA a^2 = (7.5)^2 + (7.5)^2 - 2 7.5 7.5 cos(60) a^2 = 56.25 + 56.25 - 2 56.25 0.5 a^2 = 112.5 - 56.25 a^2 = 56.25 a = √56.25 a ≈ 7.5√2 a ≈ 10.61 см

Таким образом, сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна примерно 10.61 см.