Периметр равнобедренного треугольника равен 48, а боковая сторона — 15. Найдите площадь треугольника.

Для решения задачи найдем сначала длину основания равнобедренного треугольника. Пусть длина боковой стороны равна ( b = 15 ), а длина основания равна ( a ). Поскольку треугольник равнобедренный, его периметр можно выразить как:

[ P = 2b + a = 48. ]

Подставим известные значения:

[ 2 \times 15 + a = 48. ]

[ 30 + a = 48. ]

[ a = 48 - 30 = 18. ]

Теперь у нас есть длина основания ( a = 18 ) и боковые стороны ( b = 15 ).

Для нахождения площади треугольника будем использовать формулу для площади через основание и высоту:

[ S = \frac{1}{2} \times a \times h, ]

где ( h ) — высота, проведенная к основанию ( a ).

Чтобы найти высоту ( h ), проведем её из вершины, противолежащей основанию ( a ), на это основание. Так как треугольник равнобедренный, высота будет также медианой, делящей основание пополам. Следовательно, каждый из отрезков основания, на которые делится основание, будет равен ( \frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9 ).

Теперь для нахождения высоты ( h ) используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это боковая сторона, а катеты — это высота и половина основания:

[ b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2. ]

Подставим известные значения:

[ 15^2 = h^2 + 9^2. ]

[ 225 = h^2 + 81. ]

[ h^2 = 225 - 81 = 144. ]

[ h = \sqrt{144} = 12. ]

Теперь можем найти площадь треугольника:

[ S = \frac{1}{2} \times 18 \times 12. ]

[ S = 9 \times 12 = 108. ]

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника составляет ( 108 ) квадратных единиц.

Для решения данной задачи нам необходимо выразить длины сторон треугольника через неизвестное значение, обозначим его как x. Так как у равнобедренного треугольника боковые стороны равны, то длина основания также будет равна x. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: 2x + 15 = 48. Отсюда находим значение x: 2x = 48 - 15 = 33, x = 33 / 2 = 16.5.

Теперь, зная длину сторон треугольника, можем найти его площадь по формуле: S = (основание высота) / 2. Так как треугольник равнобедренный, то его высота будет перпендикуляром к основанию и делить его на две равные части. Получаем: S = (16.5 15) / 2 = 247.5.

Ответ: площадь треугольника равна 247.5.