Периметр треугольника равен 30 см. Найдите угол противолежащий стороне, равной 14 см, если бисектриса...

Чтобы найти угол противолежащий стороне, равной 14 см, используем теорему косинусов. Обозначим угол противолежащий стороне 14 см как A, а сторону, равную 14 см, как a. Также обозначим бисектрису, делящую сторону a в отношении 3:5, как b.

Из условия задачи известно, что периметр треугольника равен 30 см. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон, то есть a + b + c = 30, где c - третья сторона треугольника.

Также известно, что бисектриса треугольника делит сторону a в отношении 3:5. Это означает, что a = 14 см, b = 3x и b = 5x, где x - коэффициент пропорциональности.

Используем теорему косинусов: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) cos(A) = ((3x)^2 + c^2 - 14^2) / (2 3x c) cos(A) = (9x^2 + c^2 - 196) / (6xc)

Также известно, что b + c = 30 - a, то есть 3x + c = 30 - 14 = 16, c = 16 - 3x.

Подставим выражение для c в формулу для cos(A): cos(A) = (9x^2 + (16 - 3x)^2 - 196) / (6x(16 - 3x)) cos(A) = (9x^2 + 256 - 96x + 9x^2 - 196) / (96x - 18x^2) cos(A) = (18x^2 - 96x + 60) / (96x - 18x^2)

Теперь найдем значение угла A, используя обратный косинус: A = arccos((18x^2 - 96x + 60) / (96x - 18x^2))

Подбираем значение x, чтобы значение угла A находилось в допустимом диапазоне от 0 до 180 градусов.

Угол противолежащий стороне, равной 14 см, равен 80°.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о биссектрисе треугольника и некоторыми свойствами треугольников.

Дано:

• Периметр треугольника (ABC) равен 30 см.
• Сторона (BC = 14) см.
• Биссектриса (\angle BAC) делит сторону (BC) в отношении 3:5.

Обозначим:

• (BD = 3x)
• (DC = 5x)

Из условия, (BD + DC = BC = 14) см, получаем уравнение: [ 3x + 5x = 14 ] [ 8x = 14 ] [ x = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} ]

Следовательно, [ BD = 3x = 3 \times \frac{7}{4} = \frac{21}{4} ] [ DC = 5x = 5 \times \frac{7}{4} = \frac{35}{4} ]

Теперь найдём стороны (AB) и (AC) с использованием теоремы о биссектрисе: [ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} = \frac{\frac{21}{4}}{\frac{35}{4}} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5} ]

Пусть (AB = 3k) и (AC = 5k). Тогда: [ AB + AC + BC = 30 ] [ 3k + 5k + 14 = 30 ] [ 8k + 14 = 30 ] [ 8k = 16 ] [ k = 2 ]

Следовательно, [ AB = 3k = 6 \text{ см} ] [ AC = 5k = 10 \text{ см} ]

Теперь используем теорему косинусов для нахождения угла (\angle BAC): [ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) ] [ 14^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(\angle BAC) ] [ 196 = 36 + 100 - 120 \cdot \cos(\angle BAC) ] [ 196 = 136 - 120 \cdot \cos(\angle BAC) ] [ 60 = 120 \cdot \cos(\angle BAC) ] [ \cos(\angle BAC) = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} ]

Угол, косинус которого равен (\frac{1}{2}), равен (60^\circ).

Таким образом, угол (\angle BAC), противолежащий стороне (BC = 14) см, равен (60^\circ).