Площадь боковой поверхности цилиндра состовляет половину площади его полной поверхности, диагональ осевого...

Пусть радиус основания цилиндра равен ( r ), а высота ( h ). Площадь боковой поверхности цилиндра ( S_b = 2\pi rh ), а площадь полной поверхности ( S_p = 2\pi r^2 + S_b ).

По условию, ( S_b = \frac{1}{2} S_p ). Подставим ( S_b ):

[ 2\pi rh = \frac{1}{2}(2\pi r^2 + 2\pi rh) ]

Упрощая уравнение, получаем:

[ 2\pi rh = \pi r^2 + \pi rh ]

Отсюда:

[ \pi rh = \pi r^2 ]

Следовательно:

[ h = r ]

Теперь рассмотрим диагональ осевого сечения. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник с высотой ( h ) и шириной ( 2r ). Диагональ ( d ) этого прямоугольника равна:

[ d = \sqrt{(2r)^2 + h^2} = \sqrt{4r^2 + r^2} = \sqrt{5r^2} = r\sqrt{5} ]

По условию ( d = 5 ):

[ r\sqrt{5} = 5 \implies r = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} ]

Теперь найдём высоту ( h ):

[ h = r = \sqrt{5} ]

Теперь можем найти площадь полной поверхности:

[ S_p = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi (\sqrt{5})^2 + 2\pi (\sqrt{5})(\sqrt{5}) = 2\pi \cdot 5 + 2\pi \cdot 5 = 10\pi + 10\pi = 20\pi ]

Итак, площадь полной поверхности цилиндра равна ( 20\pi ).

Для решения задачи сначала определим, что такое цилиндр и какие параметры нам известны:

1. Боковая поверхность цилиндра: Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить по формуле: [ S_{\text{бок}} = 2 \pi r h, ] где ( r ) — радиус основания цилиндра, ( h ) — высота цилиндра.

2. Полная поверхность цилиндра: Полная площадь поверхности цилиндра состоит из боковой поверхности и площадей двух оснований: [ S{\text{полная}} = S{\text{бок}} + S{\text{основания}} = S{\text{бок}} + 2 \pi r^2. ]

3. Из условия задачи известно, что площадь боковой поверхности составляет половину площади полной поверхности: [ S{\text{бок}} = \frac{1}{2} S{\text{полная}}. ] Подставим формулы для площадей: [ 2 \pi r h = \frac{1}{2} \left( 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \right). ] Упрощая это уравнение, получаем: [ 2 \pi r h = \pi r h + \pi r^2. ] Переносим все в одну сторону: [ 2 \pi r h - \pi r h - \pi r^2 = 0, ] [ \pi r h - \pi r^2 = 0. ] Делим обе стороны на ( \pi r ) (при условии, что ( r \neq 0 )): [ h - r = 0 \quad \Rightarrow \quad h = r. ]

4. Теперь мы знаем, что высота цилиндра равна радиусу основания (( h = r )).

5. Диагональ осевого сечения: Осевое сечение цилиндра выглядит как прямоугольник, где одна сторона равна высоте ( h ) (которая равна ( r )), а другая сторона равна диаметру основания ( 2r ). Диагональ ( d ) этого прямоугольника можно найти по теореме Пифагора: [ d = \sqrt{(2r)^2 + h^2} = \sqrt{(2r)^2 + r^2} = \sqrt{4r^2 + r^2} = \sqrt{5r^2} = r \sqrt{5}. ] Из условия задачи известно, что диагональ равна 5: [ r \sqrt{5} = 5 \quad \Rightarrow \quad r = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}. ]

6. Теперь, зная радиус, можем найти высоту: [ h = r = \sqrt{5}. ]

7. Площадь полной поверхности: Подставим найденные значения радиуса и высоты в формулу для полной площади поверхности: [ S{\text{полная}} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2. ] Подставляем ( r = \sqrt{5} ) и ( h = \sqrt{5} ): [ S{\text{полная}} = 2 \pi (\sqrt{5})(\sqrt{5}) + 2 \pi (\sqrt{5})^2. ] Это упростится до: [ S_{\text{полная}} = 2 \pi (5) + 2 \pi (5) = 10\pi + 10\pi = 20\pi. ]

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра составляет: [ \boxed{20\pi}. ]

Для решения задачи обозначим следующие параметры цилиндра:

• ( r ) — радиус основания цилиндра;
• ( h ) — высота цилиндра;
• ( S_{\text{бок}} ) — площадь боковой поверхности цилиндра;
• ( S_{\text{осн}} ) — площадь основания цилиндра;
• ( S_{\text{полн}} ) — площадь полной поверхности цилиндра.

Шаг 1. Запишем формулы для площади поверхности цилиндра.

• Площадь боковой поверхности цилиндра: [ S_{\text{бок}} = 2\pi r h. ]

• Площадь одного основания цилиндра: [ S_{\text{осн}} = \pi r^2. ]

• Площадь полной поверхности цилиндра (с учётом двух оснований): [ S{\text{полн}} = S{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 2\pi r h + 2\pi r^2. ]

Шаг 2. Условие задачи: площадь боковой поверхности составляет половину площади полной поверхности.

Согласно условию задачи: [ S{\text{бок}} = \frac{1}{2} S{\text{полн}}. ]

Подставим выражения для ( S{\text{бок}} ) и ( S{\text{полн}} ): [ 2\pi r h = \frac{1}{2} \left( 2\pi r h + 2\pi r^2 \right). ]

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби: [ 4\pi r h = 2\pi r h + 4\pi r^2. ]

Упростим: [ 4\pi r h - 2\pi r h = 4\pi r^2, ] [ 2\pi r h = 4\pi r^2. ]

Сократим ( 2\pi r ) (предполагаем, что ( r \neq 0 )): [ h = 2r. ]

Получаем, что высота цилиндра равна удвоенному радиусу.

Шаг 3. Используем информацию о диагонали осевого сечения.

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 5. Осевое сечение — это прямоугольник с размерами ( h ) и ( 2r ) (диаметр основания цилиндра). Диагональ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора: [ d = \sqrt{(2r)^2 + h^2}. ]

Подставим известное значение диагонали ( d = 5 ) и ( h = 2r ): [ 5 = \sqrt{(2r)^2 + (2r)^2}. ]

Упростим: [ 5 = \sqrt{4r^2 + 4r^2}. ] [ 5 = \sqrt{8r^2}. ] [ 5 = \sqrt{4 \cdot 2r^2}. ] [ 5 = 2\sqrt{2}r. ]

Разделим обе части уравнения на ( 2\sqrt{2} ): [ r = \frac{5}{2\sqrt{2}}. ]

Упростим дробь: [ r = \frac{5\sqrt{2}}{4}. ]

Шаг 4. Найдём высоту цилиндра.

Мы знаем, что ( h = 2r ). Подставим значение ( r ): [ h = 2 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{4}. ] [ h = \frac{10\sqrt{2}}{4}. ] [ h = \frac{5\sqrt{2}}{2}. ]

Шаг 5. Найдём площадь полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра: [ S_{\text{полн}} = 2\pi r h + 2\pi r^2. ]

Подставим значения ( r = \frac{5\sqrt{2}}{4} ) и ( h = \frac{5\sqrt{2}}{2} ).

1. Найдём ( 2\pi r h ): [ 2\pi r h = 2\pi \cdot \frac{5\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}. ] [ 2\pi r h = 2\pi \cdot \frac{25 \cdot 2}{8}. ] [ 2\pi r h = 2\pi \cdot \frac{50}{8}. ] [ 2\pi r h = 2\pi \cdot \frac{25}{4}. ] [ 2\pi r h = \frac{50\pi}{4}. ] [ 2\pi r h = \frac{25\pi}{2}. ]

2. Найдём ( 2\pi r^2 ): [ 2\pi r^2 = 2\pi \cdot \left( \frac{5\sqrt{2}}{4} \right)^2. ] [ 2\pi r^2 = 2\pi \cdot \frac{25 \cdot 2}{16}. ] [ 2\pi r^2 = 2\pi \cdot \frac{50}{16}. ] [ 2\pi r^2 = 2\pi \cdot \frac{25}{8}. ] [ 2\pi r^2 = \frac{50\pi}{8}. ] [ 2\pi r^2 = \frac{25\pi}{4}. ]

3. Найдём ( S{\text{полн}} ): [ S{\text{полн}} = \frac{25\pi}{2} + \frac{25\pi}{4}. ]

Приведём к общему знаменателю: [ S{\text{полн}} = \frac{50\pi}{4} + \frac{25\pi}{4}. ] [ S{\text{полн}} = \frac{75\pi}{4}. ]

Ответ: [ \boxed{\frac{75\pi}{4}} ]