Площадь кругового сектора равна 6п см^2, а длина его дуги - 2п см. Найдите радиус круга и градусную...

Для первого вопроса:

Площадь кругового сектора равна 6π см^2, а длина его дуги - 2π см. Пусть радиус круга равен r, а градусная мера дуги сектора равна α.

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле: S = (α/360)πr^2 = 6π Длина дуги сектора вычисляется по формуле: L = (α/360)2πr = 2π

Из этих двух уравнений можно выразить α и r. Подставив полученные значения обратно в эти уравнения, найдем радиус круга и градусную меру дуги сектора.

Для второго вопроса:

Диаметр окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 10 см, а сторона многоугольника - 10√3 см. Пусть количество сторон многоугольника равно n, а радиус описанной окружности равен R.

Для правильного многоугольника с n сторонами радиус описанной окружности выражается через радиус вписанной окружности и количество сторон по формуле: R = r / cos(π/n)

Известно, что диаметр вписанной окружности равен стороне многоугольника, поэтому r = 5 см. Подставив это значение в формулу для R, можно найти радиус описанной окружности.

Для нахождения количества сторон многоугольника можно воспользоваться формулой для длины стороны правильного многоугольника: s = 2Rsin(π/n), где s = 10√3 см. Подставив известные значения, можно найти n.

Давайте разберем два ваших вопроса по порядку.

Вопрос 1: Площадь кругового сектора и длина его дуги

1. Дано:

   • Площадь сектора ( S = 6\pi ) см²
   • Длина дуги ( l = 2\pi ) см

2. Найти:

   • Радиус круга ( R )
   • Градусную меру дуги сектора ( \theta )

Решение:

1. Начнем с формулы площади сектора: [ S = \frac{1}{2} R^2 \theta ] где ( \theta ) — центральный угол в радианах.

2. Также у нас есть формула длины дуги: [ l = R \theta ]

3. Подставим ( l = 2\pi ) см в формулу длины дуги: [ 2\pi = R \theta \implies \theta = \frac{2\pi}{R} ]

4. Теперь подставим ( \theta ) в формулу площади сектора: [ S = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{2\pi}{R} = \pi R ]

5. Площадь сектора ( S = 6\pi ): [ \pi R = 6\pi \implies R = 6 \text{ см} ]

6. Найдем ( \theta ): [ \theta = \frac{2\pi}{R} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \text{ радиан} ]

7. Переведем угол из радиан в градусы: [ \theta = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{180}{\pi} = 60^\circ ]

Ответ:

• Радиус круга ( R = 6 ) см.
• Градусная мера дуги сектора ( \theta = 60^\circ ).

Вопрос 2: Вписанный правильный многоугольник

1. Дано:

   • Диаметр вписанной окружности ( d = 10 ) см (\implies) радиус ( r = \frac{d}{2} = 5 ) см
   • Сторона многоугольника ( a = 10\sqrt{3} ) см

2. Найти:

   • Количество сторон ( n )
   • Радиус описанной окружности ( R )

Решение:

1. У вписанного правильного многоугольника радиус вписанной окружности выражается через радиус описанной окружности и количество сторон: [ r = R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) ]

2. Также существует формула для стороны правильного многоугольника через радиус описанной окружности: [ a = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) ]

3. Из первого уравнения выразим ( R ): [ R = \frac{r}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \frac{5}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} ]

4. Подставим это значение ( R ) во второе уравнение: [ 10\sqrt{3} = 2 \cdot \frac{5}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) ]

5. Упрощаем: [ 10\sqrt{3} = 10 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) ]

6. Сокращаем: [ \sqrt{3} = \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) ]

7. (\tan(\frac{\pi}{n}) = \sqrt{3} \implies \frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{3} \implies n = 3)

8. Мы получили, что ( n = 6 ). Теперь найдем радиус описанной окружности: [ R = \frac{5}{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5.77 \text{ см} ]

Ответ:

• Количество сторон многоугольника ( n = 6 ).
• Радиус описанной окружности ( R = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5.77 ) см.

Рисунки:

Для первого вопроса: [ \includegraphics[width=0.5\textwidth]{circle_sector.png} ]

Для второго вопроса: [ \includegraphics[width=0.5\textwidth]{inscribed_polygon.png} ]

(Извините, в тексте я не могу предоставить рисунки, но вы можете нарисовать их самостоятельно, следуя вышеописанным шагам.)