Площадь прямоугольного треугольника равна 15 дм в квадрате, а сумма длин его катетов 11 дм, найти катеты

Длина катетов равна 3 дм и 8 дм.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов, то есть ( S = \frac{ab}{2} ), где а и b - длины катетов. Также из условия задачи известно, что сумма длин катетов равна 11 дм, то есть ( a + b = 11 ).

Подставим значение площади в формулу площади прямоугольного треугольника:

[ \frac{ab}{2} = 15 ]

Получаем:

[ ab = 30 ]

Теперь можем решить систему уравнений:

[ \begin{cases} a + b = 11 \ ab = 30 \end{cases} ]

Из первого уравнения выразим a через b: ( a = 11 - b )

Подставим это значение во второе уравнение:

[ (11 - b)b = 30 ]

[ 11b - b^2 = 30 ]

[ b^2 - 11b + 30 = 0 ]

Решив квадратное уравнение, найдем длины катетов:

[ b_1 = 6, \quad b_2 = 5 ]

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 6 дм и 5 дм.

Для решения данной задачи можно использовать следующие известные формулы и методы:

1. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты (a) и (b) следующим образом:

   [ S = \frac{1}{2}ab ]

   По условию задачи площадь (S = 15) дм², отсюда следует:

   [ \frac{1}{2}ab = 15 \Rightarrow ab = 30 ]

2. Также известно, что сумма катетов равна 11 дм:

   [ a + b = 11 ]

Для нахождения катетов (a) и (b) используем систему уравнений:

[ \begin{cases} ab = 30 \ a + b = 11 \end{cases} ]

Преобразуем второе уравнение системы:

[ b = 11 - a ]

Подставим это выражение в первое уравнение:

[ a(11 - a) = 30 ]

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

[ a^2 - 11a + 30 = 0 ]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант (D) рассчитываем по формуле:

[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \times 1 \times 30 = 121 - 120 = 1 ]

Корни уравнения найдем по формуле:

[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 1}{2} ]

Итак, получаем два возможных значения для (a):

[ a_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad a_2 = \frac{10}{2} = 5 ]

Теперь найдем соответствующие значения для (b):

[ b_1 = 11 - 6 = 5, \quad b_2 = 11 - 5 = 6 ]

Итак, катеты треугольника равны 6 дм и 5 дм.