Площадь прямоугольного треугольника равна 15 дм в квадрате, а сумма длин его катетов 11 дм, найти катеты

Длина катетов равна 3 дм и 8 дм.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов, то есть $S=\frac{ab}{2}$, где а и b - длины катетов. Также из условия задачи известно, что сумма длин катетов равна 11 дм, то есть $a+b=11$.

Подставим значение площади в формулу площади прямоугольного треугольника:

$\frac{ab}{2}=15$

Получаем:

$ab=30$

Теперь можем решить систему уравнений:

$\{\begin{array}{l}a+b=11ab=30\end{array}$

Из первого уравнения выразим a через b: $a=11-b$

Подставим это значение во второе уравнение:

$(11-b)b=30$

$11b-b^2=30$

$b^2-11b+30=0$

Решив квадратное уравнение, найдем длины катетов:

$b_1=6,b_2=5$

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 6 дм и 5 дм.

Для решения данной задачи можно использовать следующие известные формулы и методы:

1. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты $a$ и $b$ следующим образом:

   $S=\frac{1}{2}ab$

   По условию задачи площадь $S=15$ дм², отсюда следует:

   $\frac{1}{2}ab=15\Rightarrow ab=30$

2. Также известно, что сумма катетов равна 11 дм:

   $a+b=11$

Для нахождения катетов $a$ и $b$ используем систему уравнений:

$\{\begin{array}{l}ab=30a+b=11\end{array}$

Преобразуем второе уравнение системы:

$b=11-a$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$a(11-a)=30$

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

$a^2-11a+30=0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D$ рассчитываем по формуле:

$D=b^2-4ac=(-11{)}^2-4\times 1\times 30=121-120=1$

Корни уравнения найдем по формуле:

$a=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{11\pm 1}{2}$

Итак, получаем два возможных значения для $a$:

$a_1=\frac{12}{2}=6,a_2=\frac{10}{2}=5$

Теперь найдем соответствующие значения для $b$:

$b_1=11-6=5,b_2=11-5=6$

Итак, катеты треугольника равны 6 дм и 5 дм.