Площадь прямоугольного треугольника равна (578√3)\3. Один из острых углов равен 30∘. Найдите длину катета,...

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой площади прямоугольного треугольника: S = 0.5 a b, где a и b - длины катетов, а S - площадь треугольника. Так как у нас известна площадь треугольника, равная (578√3)/3, и один из острых углов равен 30∘, то мы можем записать формулу площади треугольника через синус угла: S = 0.5 a b sin(30∘). Таким образом, у нас получается уравнение: (578√3)/3 = 0.5 a b sin(30∘). Известно, что sin(30∘) = 1/2, поэтому уравнение принимает вид: (578√3)/3 = 0.5 a b * (1/2). Далее мы можем подставить данное значение площади и преобразовать уравнение, чтобы найти длину катета, прилежащего к углу 30∘.

Для решения задачи, в которой дана площадь прямоугольного треугольника и один из острых углов, нужно использовать основные свойства прямоугольных треугольников и тригонометрические функции.

1. Основные данные:

   • Площадь треугольника: ( \frac{578\sqrt{3}}{3} )
   • Один из острых углов: ( 30^\circ )

2. Подставим эти данные в формулу площади треугольника:

   • Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле ( \frac{1}{2}ab ), где ( a ) и ( b ) — это катеты треугольника.
   • Площадь треугольника: ( \frac{1}{2}ab = \frac{578\sqrt{3}}{3} )

3. Используем свойства треугольника с углом ( 30^\circ ):

   • В прямоугольном треугольнике с углом ( 30^\circ ) катет, прилежащий к углу ( 30^\circ ), равен половине гипотенузы.
   • Обозначим катет, прилежащий к углу ( 30^\circ ), за ( a ).
   • Тогда гипотенуза ( c = 2a ).

4. Катет, противоположный углу ( 30^\circ ):

   • Катет, противоположный углу ( 30^\circ ), можно найти через синус этого угла: [ b = a \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} ]

5. Подставляем эти выражения в формулу площади:

   • Теперь подставим ( a ) и ( b ) в формулу площади: [ \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left( a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{578\sqrt{3}}{3} ]
   • Упростим выражение: [ \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{\sqrt{3}} = \frac{578\sqrt{3}}{3} ]
   • Умножим обе части на ( 2\sqrt{3} ): [ \frac{a^2}{3} = \frac{578 \cdot 2 \cdot 3}{3} ]
   • Упростим: [ a^2 = 578 \cdot 2 ] [ a^2 = 1156 ]
   • Возьмем квадратный корень: [ a = \sqrt{1156} = 34 ]

Таким образом, длина катета, прилежащего к углу ( 30^\circ ), равна ( 34 ) единицам.