Площадь равнобедренного треугольника ABC равна 10, а боковая сторона равна 5. К основанию AC и стороне...

Для решения задачи начнем с данной информации: площадь равнобедренного треугольника ABC равна 10, а боковая сторона AB (или AC) равна 5. Мы также знаем, что высоты BM и AH пересекаются в точке K.

1. Обозначим необходимые элементы:

   • Площадь треугольника ABC: ( S = 10 )
   • Боковая сторона AB = AC = 5
   • Высота BM опущенная из вершины B на основание AC.
   • Высота AH опущенная из вершины A на сторону BC.

2. Найдём высоту BM: Площадь треугольника ABC можно выразить через основание AC и высоту BM: [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM ] Обозначим длину основания AC как ( a ). Тогда: [ 10 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot BM \implies a \cdot BM = 20 \implies BM = \frac{20}{a} ]

3. Найдём длину основания AC: В равнобедренном треугольнике ABC можно выразить основание через боковые стороны и высоту: По теореме Пифагора для треугольника ABM (где M — основание высоты BM): [ AB^2 = AM^2 + BM^2 ] Обозначим AM как ( \frac{a}{2} ). Тогда: [ 5^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + BM^2 \implies 25 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{20}{a}\right)^2 ] Подставляя BM: [ 25 = \frac{a^2}{4} + \frac{400}{a^2} ] Умножим все уравнение на ( 4a^2 ): [ 100a^2 = a^4 + 1600 \implies a^4 - 100a^2 + 1600 = 0 ] Обозначим ( x = a^2 ): [ x^2 - 100x + 1600 = 0 ] Решим это квадратное уравнение: [ x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 6400}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{100 \pm 60}{2} ] Получаем два корня: [ x_1 = 80 \quad (x_1 = a^2, \, a = 4\sqrt{5}) \quad и \quad x_2 = 20 \quad (x_2 = a^2, \, a = 2\sqrt{5}) ]

   Из этих значений возьмем ( a = 4\sqrt{5} ) (так как это соответствует большему основанию).

4. Теперь мы можем найти высоту BM: [ BM = \frac{20}{4\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} ]

5. Находим координаты точки K: Точка K находится на пересечении высот BM и AH, и делит треугольник на два меньших треугольника: ABK и BKC. Площадь треугольника ABC делится в отношении высот BM и AH. С учетом равенства высот (так как треугольник равнобедренный), площади ABK и BKC будут равны.

6. Рассчитаем площадь ABK: Площадь треугольника ABC равна 10, и поскольку высоты BM и AH пересекаются в K, площадь каждого из меньших треугольников будет ( \frac{1}{2} ) от площади ABC: [ S{ABK} = \frac{S{ABC}}{2} = \frac{10}{2} = 5 ]

Таким образом, площадь треугольника ABK равна ( 5 ).

Давайте разберём задачу поэтапно.

Дано:

1. Площадь треугольника ( ABC ) равна ( S_{ABC} = 10 ).
2. Боковая сторона ( AB = BC = 5 ).
3. Высоты ( BM ) и ( AH ) пересекаются в точке ( K ).
4. Требуется найти площадь треугольника ( ABK ).

Шаг 1. Выразим основание ( AC ).

Площадь треугольника ( ABC ) можно найти по формуле: [ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B, ] где ( AC ) — основание треугольника, а ( h_B ) — высота, опущенная из вершины ( B ) на основание ( AC ).

Обозначим длину высоты ( h_B ) как ( h_B = BM ). Тогда из формулы площади имеем: [ 10 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM. ] Отсюда: [ AC \cdot BM = 20. \tag{1} ]

Шаг 2. Свойства точек пересечения высот.

Точка ( K ) — ортоцентр треугольника, так как это точка пересечения высот. Нас интересует площадь треугольника ( ABK ), которая является частью треугольника ( ABC ).

Шаг 3. Найдём площадь треугольника ( ABK ).

Площадь треугольника ( ABK ) равна: [ S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_K, ] где ( h_K ) — высота, проведённая из точки ( K ) на сторону ( AB ) внутри треугольника ( ABK ).

Но проще воспользоваться свойством, что площадь треугольника ( ABK ) будет пропорциональна площади всего треугольника ( ABC ) в отношении высот. Поскольку ( K ) делит треугольник на три меньших треугольника, площадь ( ABK ) составляет ровно ( \frac{1}{2} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 ).

Ответ:

[ \boxed{5} ]