Площадь равнобедренного треугольника с углом при вершине 120 градусов равна 36√3см². Найдите стороны...

Давайте решим задачу о нахождении сторон равнобедренного треугольника с углом при вершине 120 градусов и площадью 36√3 см².

Для начала обозначим стороны треугольника. Пусть ( a ) — длина боковых сторон, а ( b ) — длина основания треугольника. Поскольку угол при вершине равен 120 градусов, боковые стороны равны, а угол между ними составляет 120 градусов.

Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу, основанную на синусе угла между двумя сторонами:

[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(120^\circ). ]

Так как (\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), формула площади примет вид:

[ S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2. ]

По условию задачи, площадь ( S = 36\sqrt{3} ) см². Приравняем это значение к полученной формуле:

[ \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = 36\sqrt{3}. ]

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

[ \sqrt{3} \cdot a^2 = 144\sqrt{3}. ]

Разделим обе части уравнения на (\sqrt{3}):

[ a^2 = 144. ]

Теперь найдём ( a ), извлекая квадратный корень:

[ a = \sqrt{144} = 12. ]

Таким образом, боковые стороны треугольника равны 12 см. Теперь найдём основание ( b ). Для этого можно использовать теорему косинусов:

[ b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ). ]

Так как (\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}), подставляем это значение в формулу:

[ b^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right). ]

Упростим выражение:

[ b^2 = 144 + 144 + 144 = 432. ]

Теперь найдём ( b ), извлекая квадратный корень:

[ b = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}. ]

Таким образом, стороны треугольника равны: боковые стороны ( a = 12 ) см, а основание ( b = 12\sqrt{3} ) см.

Для нахождения сторон равнобедренного треугольника с углом при вершине 120 градусов, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника: S = (1/2) a b * sin(C), где a и b - стороны треугольника, C - угол между этими сторонами.

Поскольку у нас равнобедренный треугольник, то стороны a и b будут равны, обозначим их как x. Угол C равен 120 градусов, а площадь треугольника равна 36√3 см².

Теперь подставим известные значения в формулу площади и получим: 36√3 = (1/2) x x sin(120°) 36√3 = (1/2) x^2 √3/2 72 = x^2 3/2 x^2 = 48 x = √48 x = 4√3

Таким образом, стороны равнобедренного треугольника равны 4√3 см каждая.