Площадь равнобедренной трапеции с основаниями 3 и 7 вписана окружность. Найдите площадь этой трапеции.

Для нахождения площади равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, можно воспользоваться следующим методом.

Пусть радиус вписанной окружности равен r, а высота равнобедренной трапеции равна h. Так как радиус окружности проведен к боковой стороне трапеции, то он будет перпендикулярен к этой стороне. Таким образом, мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника, каждый из которых содержит радиус r.

Площадь каждого такого треугольника равна (1/2)rh. Следовательно, общая площадь трапеции составит 2(1/2)rh = rh.

Также, из свойств равнобедренной трапеции, мы знаем, что высота h равна длине биссектрисы, проведенной из вершины трапеции. Поэтому, мы можем построить прямоугольный треугольник с катетами r и (7-3)/2 = 2,5. По теореме Пифагора, найдем длину биссектрисы: h = sqrt(r^2 + 2,5^2).

Таким образом, у нас есть два уравнения: r*h = 3,5 и h = sqrt(r^2 + 2,5^2). Решая их одновременно, мы найдем значения r и h. Подставив их обратно в формулу для площади трапеции, получим ответ на задачу.

Площадь равнобедренной трапеции можно найти по формуле: (S = \frac{a + b}{2} \cdot h), где (a) и (b) - основания трапеции, (h) - высота трапеции. Так как вписанная окружность касается всех сторон трапеции, то линия, соединяющая центр окружности с точкой касания, будет радиусом окружности и перпендикулярна стороне трапеции. Поэтому высота трапеции равна радиусу окружности. Поскольку трапеция равнобедренная, то (h = \sqrt{r^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2}). Подставляем известные значения: (h = \sqrt{r^2 - 2^2} = \sqrt{r^2 - 4}). Таким образом, площадь трапеции равна (S = \frac{3 + 7}{2} \cdot \sqrt{r^2 - 4} = 5 \cdot \sqrt{r^2 - 4}).

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, мы можем воспользоваться определённой теоремой. Теорема утверждает, что если в трапецию можно вписать окружность, то сумма её боковых сторон равна сумме оснований.

Обозначим основания трапеции как ( a = 7 ) и ( b = 3 ). Пусть боковые стороны равнобедренной трапеции равны ( c ). Согласно теореме, сумма боковых сторон равна сумме оснований:

[ c + c = a + b ]

[ 2c = 7 + 3 ]

[ 2c = 10 ]

[ c = 5 ]

Теперь, зная все стороны трапеции ( a = 7 ), ( b = 3 ) и боковые стороны ( c = 5 ), мы можем найти полупериметр трапеции:

[ p = \frac{a + b + 2c}{2} = \frac{7 + 3 + 10}{2} = 10 ]

Поскольку в трапецию вписана окружность, её площадь ( S ) также может быть найдена через формулу:

[ S = p \cdot r ]

где ( r ) — радиус вписанной окружности. Для равнобедренной трапеции с вписанной окружностью радиус окружности также можно выразить через стороны:

[ r = \frac{ab}{a+b} ]

Подставим значения:

[ r = \frac{3 \cdot 7}{3+7} = \frac{21}{10} = 2.1 ]

Теперь найдем площадь:

[ S = p \cdot r = 10 \cdot 2.1 = 21 ]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет 21 квадратных единиц.