Площадь ромба равна 36 см2, а одна из его диагоналей в два раза меньше другой. Чему равна сторона ромба?

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства ромба. Пусть сторона ромба равна а, а его диагонали равны d₁ и d₂. Известно, что площадь ромба равна 36 см², то есть S = (d₁ d₂) / 2 = 36. Также из условия известно, что одна из диагоналей в два раза меньше другой, то есть d₁ = 2 d₂.

Из данных свойств ромба можно составить систему уравнений: 1) d₁ d₂ = 72 2) d₁ = 2 d₂

Подставим второе уравнение в первое: 2 d₂ d₂ = 72 2d₂² = 72 d₂² = 36 d₂ = 6

Таким образом, вторая диагональ равна 6 см, а первая равна 2 * 6 = 12 см.

Теперь найдем сторону ромба, используя формулу для вычисления стороны через диагонали: а = √(d₁² + d₂²) = √(12² + 6²) = √(144 + 36) = √180 = 6√5

Итак, сторона ромба равна 6√5 см.

Для нахождения стороны ромба, зная его площадь и соотношение диагоналей, нужно выполнить несколько шагов.

1. Обозначим диагонали ромба: Пусть одна диагональ равна (d_1), а другая диагональ равна (d_2). По условию, одна диагональ в два раза меньше другой, значит: [ d_1 = 2d_2 ]

2. Используем формулу для площади ромба: Площадь ромба (S) можно вычислить по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 ] По условию, площадь (S) равна 36 см²: [ 36 = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 ]

3. Подставляем соотношение диагоналей: Подставим (d_1 = 2d_2) в формулу для площади: [ 36 = \frac{1}{2} \cdot (2d_2) \cdot d_2 ] Упростим выражение: [ 36 = \frac{1}{2} \cdot 2d_2^2 ] [ 36 = d_2^2 ]

4. Находим (d_2): [ d_2^2 = 36 ] [ d_2 = 6 \text{ см} ]

5. Находим (d_1): [ d_1 = 2d_2 = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см} ]

6. Используем свойства ромба: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Следовательно, каждая половина диагонали составляет: [ \frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} ] [ \frac{d_2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см} ]

7. Применяем теорему Пифагора: В каждом из четырёх образовавшихся прямоугольных треугольников, стороны которых являются половинами диагоналей и стороной ромба, гипотенуза (сторона ромба) вычисляется как: [ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} ] Подставим значения: [ a = \sqrt{6^2 + 3^2} ] [ a = \sqrt{36 + 9} ] [ a = \sqrt{45} ] [ a = 3\sqrt{5} \text{ см} ]

Таким образом, сторона ромба равна (3\sqrt{5} \text{ см}).