Помогите пожалуйста: Две стороны треугольника 4 и 8, sin угла между ними равен корень из 3 поделить...

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов позволяет найти третью сторону треугольника, если известны две стороны и угол между ними:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma), ] где:

• (a) и (b) — известные стороны треугольника,
• (\gamma) — угол между этими сторонами,
• (c) — третья сторона треугольника.

Однако в задаче дано значение синуса угла между сторонами ((\sin \gamma = \frac{\sqrt{3}}{2})), а не косинуса. Мы знаем, что синус и косинус связаны через основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1. ]

Подставим данное значение синуса и найдем косинус:

[ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1. ]

[ \frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1. ]

[ \cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}. ]

[ \cos \gamma = \pm \frac{1}{2}. ]

Так как значение косинуса зависит от того, в каком угле находится (\gamma) (острый или тупой), допустим, что (\gamma) является острым углом (это наиболее частый случай в таких задачах). Тогда:

[ \cos \gamma = \frac{1}{2}. ]

Теперь применим теорему косинусов для нахождения третьей стороны (c):

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma. ]

Подставим известные значения:

• (a = 4),
• (b = 8),
• (\cos \gamma = \frac{1}{2}).

[ c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}. ]

Вычислим поэтапно: [ c^2 = 16 + 64 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}. ]

[ c^2 = 16 + 64 - 32. ]

[ c^2 = 48. ]

[ c = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}. ]

Таким образом, третья сторона треугольника равна:

[ \boxed{4\sqrt{3}}. ]

Для нахождения третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и синус угла между ними, мы можем использовать теорему косинусов.

Даны:

• Две стороны треугольника ( a = 4 ) и ( b = 8 )
• Синус угла ( C ) между ними ( \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} )

Сначала найдем угол ( C ). Известно, что ( \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} ) соответствует углам ( 60^\circ ) и ( 120^\circ ). Мы воспользуемся первым значением, так как для нахождения третьей стороны нам это будет достаточно.

Теперь, используя теорему косинусов, мы можем найти третью сторону ( c ): [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C ] Сначала найдем ( \cos C ). Используя тригонометрическую идентичность: [ \cos^2 C + \sin^2 C = 1 ] Подставим ( \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} ): [ \cos^2 C + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 1 ] [ \cos^2 C + \frac{3}{4} = 1 ] [ \cos^2 C = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} ] Следовательно, ( \cos C = \frac{1}{2} ) (мы берем положительное значение, так как угол ( C ) равен ( 60^\circ )).

Теперь подставим значения в формулу для нахождения ( c ): [ c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} ] [ c^2 = 16 + 64 - 32 ] [ c^2 = 48 ] Теперь найдём ( c ): [ c = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} ]

Таким образом, третья сторона треугольника равна ( 4\sqrt{3} ).

Для нахождения третьей стороны треугольника можно воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим стороны треугольника как ( a = 4 ), ( b = 8 ), и угол между ними как ( C ).

Сначала найдем косинус угла ( C ): [ \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies C = 60^\circ ] Теперь применим теорему косинусов: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C ] Сначала найдем ( \cos C ): [ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} ]

Теперь подставим значения: [ c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} ] [ c^2 = 16 + 64 - 32 ] [ c^2 = 48 ] [ c = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} ]

Таким образом, третья сторона треугольника равна ( 4\sqrt{3} ).