Помогите пожалуйста решить: Периметр правильного треугольника, описанного около окружности, на 18(корней...

Для решения задачи нужно использовать свойства правильных треугольников и окружностей.

Правильный треугольник, описанный около окружности, имеет сторону, равную ( a ), и периметр ( P_1 = 3a ).

Правильный треугольник, вписанный в окружность, имеет сторону, равную ( b ), и периметр ( P_2 = 3b ).

Дано, что ( P_1 = P_2 + 18 \sqrt{5} ): [ 3a = 3b + 18 \sqrt{5} ] Сократим на 3: [ a = b + 6 \sqrt{5} ]

Теперь найдем выражения для сторон правильных треугольников через радиус окружности ( R ).

1. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность: Если правильный треугольник вписан в окружность радиуса ( R ), то сторона треугольника будет равна: [ b = R \sqrt{3} ]

2. Сторона правильного треугольника, описанного около окружности: Если правильный треугольник описан около окружности радиуса ( r ), то сторона треугольника будет равна: [ a = 2 \sqrt{3} r ]

У правильного треугольника радиус вписанной окружности связан с радиусом описанной окружности: [ r = \frac{R \sqrt{3}}{2} ]

Подставим это значение в выражение для стороны ( a ): [ a = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{R \sqrt{3}}{2} = 3R ]

Теперь у нас есть две формулы для сторон треугольников: [ a = 3R ] [ b = R \sqrt{3} ]

И подставим их в уравнение ( a = b + 6 \sqrt{5} ): [ 3R = R \sqrt{3} + 6 \sqrt{5} ]

Решим это уравнение для ( R ): [ 3R - R \sqrt{3} = 6 \sqrt{5} ] Вынесем ( R ) за скобки: [ R (3 - \sqrt{3}) = 6 \sqrt{5} ] Разделим обе части на ( (3 - \sqrt{3}) ): [ R = \frac{6 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{3}} ]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение ( (3 + \sqrt{3}) ): [ R = \frac{6 \sqrt{5} (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} ] [ R = \frac{6 \sqrt{5} (3 + \sqrt{3})}{9 - 3} ] [ R = \frac{6 \sqrt{5} (3 + \sqrt{3})}{6} ] Сократим на 6: [ R = \sqrt{5} (3 + \sqrt{3}) ]

Таким образом, радиус окружности равен: [ R = \sqrt{5} (3 + \sqrt{3}) ]

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами правильных треугольников, описанных и вписанных в окружность.

Пусть сторона правильного треугольника, описанного около окружности, равна a, а сторона правильного треугольника, вписанного в эту же окружность, равна b. Так как треугольники правильные, то у них соответственно радиусы описанных и вписанных окружностей равны a/√3 и b/√3.

Из условия задачи мы знаем, что периметр правильного треугольника, описанного около окружности, на 18√5 см больше периметра правильного треугольника, вписанного в эту же окружность. То есть 3a = 3b + 18√5.

Также известно, что периметр правильного треугольника равен 3a, а периметр вписанного треугольника равен 3b. Значит, периметр описанного треугольника равен 3a = 3b + 18√5.

Теперь нам необходимо связать радиусы описанной и вписанной окружностей с длиной сторон треугольников. Известно, что радиус описанной окружности равен a/√3, а радиус вписанной окружности равен b/√3. Таким образом, a/√3 = b + 18√5.

Теперь мы можем выразить a через b из двух полученных уравнений и подставить в уравнение радиусов окружностей, чтобы найти радиус окружности.