Для решения задач, связанных с геометрическими фигурами, важно внимательно анализировать условия и использовать известные формулы и теоремы.
Задача 1
Условие: Через точку , лежащую на окружности основания цилиндра, проведена прямая, пересекающая окружность второго основания в точке . Радиус цилиндра равен 5, длина отрезка равна , расстояние между осью цилиндра и прямой равно 3. Найдите объём цилиндра.
Решение:
Центры оснований цилиндра: обозначим их как и . Расстояние между ними равно высоте цилиндра .
Рассмотрим плоскость, содержащую ось цилиндра и прямую . Так как расстояние между осью и прямой составляет 3, то является хордой в плоскости, параллельной оси цилиндра.
Используем условие: расстояние от центра окружности до хорды равно , так как по теореме о расстоянии от центра окружности до хорды: .
Подставим известные значения:
Условие выполняется, значит, высота цилиндра .
Объем цилиндра:
Задача 2
Условие: Площадь осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равна 9. Найдите объём цилиндра.
Решение:
Осевое сечение цилиндра: представляет собой прямоугольник с длиной равной высоте цилиндра и шириной равной диаметру основания цилиндра .
Сфера вписана в цилиндр: это означает, что диаметр сферы равен высоте цилиндра .
Площадь осевого сечения:
Поскольку , то:
Объем цилиндра:
Подставьте значение , чтобы получить окончательный объем.
Задача 3
Условие: В шар вписан конус, в котором угол между образующей и плоскостью основания составляет 30 градусов. Найдите отношение объёмов шара и конуса.
Решение:
Условие вписанности конуса в шар: высота конуса равна радиусу шара .
Угол между образующей и основанием конуса: равен 30 градусов, следовательно, отношения радиуса основания конуса и высоты определяется через тангенс угла:
Таким образом, .
Объем конуса:
Объем шара:
Отношение объемов:
[
\frac{V{\text{шар}}}{V{\text{конус}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{\frac{\pi R^3}{9\sqrt{3}}} = \frac{4 \times 9\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}
]
Таким образом, отношение объёмов шара и конуса равно .