Помогите решить А1. Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:...

Давайте разберем каждый из вопросов по порядку.

А1. Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:

1) может быть неверно 2) может быть верно 3) всегда неверно 4) всегда верно

Ответ: 4) всегда верно

Обоснование: В равностороннем треугольнике все стороны и углы равны. Любая биссектриса делит угол пополам и проходит через противоположную сторону, деля её пополам. Так как треугольник равносторонний, биссектриса также является медианой и высотой. Это означает, что биссектриса всегда совпадает с медианой и высотой, разделяя треугольник на два равных по площади прямоугольных треугольника.

А2. Если треугольник равнобедренный, то:

1) все его стороны равны 2) любая его медиана является биссектрисой и высотой 3) все его углы равны 4) одна из его высот совпадает с биссектрисой и медианой

Ответ: 4) одна из его высот совпадает с биссектрисой и медианой

Обоснование: В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Медиана, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой. Однако, это не относится ко всем медианам, только к той, которая проведена к основанию треугольника.

А3. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см, боковая сторона — 15 см. Чему равно основание этого треугольника?

1) 16,5 см 2) 16 см 3) 18 см 4) 24 см

Ответ: 4) 24 см

Обоснование: Пусть (a) — длина боковой стороны (15 см), (b) — длина основания. Периметр равнобедренного треугольника равен (2a + b). Подставим известные значения: [2 \cdot 15 + b = 48] [30 + b = 48] [b = 48 - 30] [b = 18]

А4. В треугольнике АВС высота ВК делит сторону АС пополам, градусная мера угла А равна 68°. Чему равна величина угла С?

1) 68° 2) 32° 3) 22° 4) 44°

Ответ: 1) 68°

Обоснование: Так как высота ВК делит сторону АС пополам, треугольник АВС является равнобедренным с основанием АС. Углы при основании равны, что означает, что угол C равен углу A, т.е. 68°.

В1. Периметр равнобедренного треугольника равен 34 см. Основание меньше боковой стороны на 5 см. Найдите боковую сторону.

Решение:

Пусть (a) — длина боковой стороны, (b) — длина основания. Тогда (b = a - 5). Периметр равен (2a + b = 34). Подставим (b): [2a + (a - 5) = 34] [3a - 5 = 34] [3a = 39] [a = 13]

Боковая сторона равна 13 см.

В2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана AM. Периметр ΔАВС равен 40 см, а периметр ΔАВМ — 33 см. Найдите длину медианы AM.

Решение:

Пусть (a) — длина боковой стороны, (b) — длина основания, (AM) — медиана. Периметр треугольника АВС равен 40 см: [2a + b = 40]

Периметр треугольника АВМ равен 33 см, и он включает одну боковую сторону и половину основания, плюс медиану: [a + \frac{b}{2} + AM = 33]

Заменяя (b) из первого уравнения: [a + \frac{40 - 2a}{2} + AM = 33] [a + 20 - a + AM = 33] [20 + AM = 33] [AM = 13]

Длина медианы AM равна 13 см.

С1. Сумма двух сторон равнобедренного треугольника равна 26 см, а периметр равен 36 см. Какими могут быть стороны этого треугольника?

Решение:

Пусть (a) — длина боковой стороны, (b) — длина основания. Даны два условия:

1. (2a = 26)
2. (2a + b = 36)

Из первого условия: [2a = 26] [a = 13]

Подставим (a) во второе условие: [2 \cdot 13 + b = 36] [26 + b = 36] [b = 10]

Таким образом, стороны треугольника равны 13 см, 13 см и 10 см.

А1. Утверждение всегда верно. В равностороннем треугольнике все биссектрисы, медианы и высоты совпадают.

А2. Верно, если треугольник равнобедренный, то все его медианы являются биссектрисами и высотами.

А3. Для нахождения основания равнобедренного треугольника можно воспользоваться теоремой Пифагора и отношениями в равнобедренном треугольнике. Решив уравнение, получим, что основание равно 16 см.

А4. Используя свойства треугольника и знание градусной меры угла А, можем найти угол С. Решив уравнение, получим, что угол С равен 44°.

В1. Для нахождения боковой стороны равнобедренного треугольника можно составить уравнение на основании данных и решить его. Найдя значение, можно найти боковую сторону, которая равна 19 см.

В2. Для нахождения длины медианы AM можно воспользоваться формулой периметра и свойствами равнобедренного треугольника. Решив уравнение, получим, что длина медианы AM равна 9 см.

C1. Используя данные о сумме двух сторон и периметре равнобедренного треугольника, можно составить уравнение и найти возможные варианты для сторон треугольника. В данном случае стороны могут быть 10 см, 10 см и 16 см.