ПОМОГИТЕ !Сформулируйте определения вектора, его длины, коллинеарности двух ненулевых векторов, равенства...

Определение вектора: Вектор — это направленный отрезок, характеризующийся определённой длиной и направлением. В пространстве вектор можно представить как перемещение из одной точки в другую. Векторы обозначаются буквами с стрелками сверху, например, (\vec{a}).

Определение длины вектора: Длина вектора (или его модуль) обозначается как (|\vec{a}|) и представляет собой расстояние между началом и концом вектора. Если вектор (\vec{a}) имеет координаты ((x, y, z)), то его длина вычисляется по формуле: [ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} ]

Определение коллинеарности двух ненулевых векторов: Два ненулевых вектора (\vec{a}) и (\vec{b}) называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это означает, что один вектор можно представить как произведение другого на некоторый скаляр: (\vec{a} = k \vec{b}), где (k) — число.

Определение равенства векторов: Два вектора (\vec{a}) и (\vec{b}) называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Формально это выражается как совпадение их координат: (\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)) и (\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)), и если (x_1 = x_2), (y_1 = y_2), (z_1 = z_2).

Иллюстрация с использованием параллелепипеда:

Представим параллелепипед с вершинами (A, B, C, D, A', B', C', D'). В этом случае его рёбра будут представлять собой векторы.

1. Вектор: Пусть (\vec{AB}) — это вектор, который направлен от точки (A) к точке (B). Вектор (\vec{AB}) в данном случае будет характеризоваться длиной отрезка (AB) и направлением — от (A) к (B).

2. Длина вектора: Длина вектора (\vec{AB}) равна длине отрезка (AB). Если координаты точек (A(x_1, y_1, z_1)) и (B(x_2, y_2, z_2)), то длина вектора (\vec{AB}) равна: [ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

3. Коллинеарность: Векторы (\vec{AB}) и (\vec{A'B'}) будут коллинеарны, если рёбра (AB) и (A'B') параллельны. Это означает, что можно найти такой скаляр (k), что (\vec{AB} = k \vec{A'B'}).

4. Равенство векторов: Векторы (\vec{AB}) и (\vec{A'B'}) будут равны, если они не только коллинеарны, но и имеют одинаковую длину и одинаковое направление. В данном случае это значит, что отрезки (AB) и (A'B') равны по длине и направлены в одну сторону.

Таким образом, с помощью параллелепипеда можно наглядно проиллюстрировать основные понятия, связанные с векторами: их определение, длину, коллинеарность и равенство.

Вектор - это направленный отрезок прямой, характеризующийся длиной и направлением. Вектор обозначается символом стрелки над буквой, например, AB.

Длина вектора - это числовая величина, равная расстоянию между началом и концом вектора. Длина вектора обозначается символом ||AB||.

Коллинеарными называются два ненулевых вектора, которые лежат на одной прямой или параллельны друг другу.

Равенство векторов означает, что они имеют одинаковую длину и направление. Два вектора равны, если их начало и конец совпадают.

Для иллюстрации этих понятий можно использовать изображение параллелепипеда. На рисунке можно продемонстрировать два коллинеарных вектора, равные по длине и направлению. Также можно показать векторы различной длины и направления, чтобы пояснить понятие равенства и коллинеарности векторов.