Постройте с помощью циркуля и линейки сумму и разность двух данных: а) отрезков; б) углов.

Для построения суммы и разности двух отрезков и углов с помощью циркуля и линейки применяются классические методы геометрической конструкции. Рассмотрим подробно оба случая:

а) Построение суммы и разности двух отрезков

Пусть даны два отрезка ( AB ) и ( CD ). Требуется построить отрезки, равные их сумме (( AB + CD )) и разности (( AB - CD )).

Построение суммы отрезков (( AB + CD )):

1. Начертите прямую линию. Обозначьте на ней точку ( P ).
2. С помощью циркуля измерьте длину отрезка ( AB ). Установите циркуль в точку ( P ) и отметьте на прямой точку ( Q ), чтобы ( PQ = AB ).
3. Не меняя раскрытия циркуля, измерьте длину второго отрезка ( CD ). Установите циркуль в точку ( Q ) и отметьте точку ( R ), чтобы ( QR = CD ).
4. Отрезок ( PR ) является суммой ( AB + CD ).

Построение разности отрезков (( AB - CD )):

1. Начертите прямую линию. Обозначьте на ней точку ( P ).
2. С помощью циркуля измерьте длину отрезка ( AB ). Установите циркуль в точку ( P ) и отметьте на прямой точку ( Q ), чтобы ( PQ = AB ).
3. Снова измерьте длину отрезка ( CD ). Установите циркуль в точку ( Q ) и отметьте точку ( R ) в противоположную сторону от ( P ) так, чтобы ( QR = CD ).
4. Отрезок ( PR ) будет равен разности ( AB - CD ), если ( AB > CD ). Если ( CD > AB ), то разность получится отрицательной длины, что геометрически некорректно.

б) Построение суммы и разности двух углов

Пусть даны два угла ( \alpha ) и ( \beta ). Требуется построить углы, равные их сумме (( \alpha + \beta )) и разности (( \alpha - \beta )).

Построение суммы углов (( \alpha + \beta )):

1. Проведите луч ( OA ) на плоскости.
2. С помощью транспортира или циркуля отложите угол ( \alpha ) от луча ( OA ). Для этого:
   • Установите циркуль в вершину ( O ).
   • Перенесите угол ( \alpha ) на бумагу, чтобы получить второй луч ( OB ).
3. От вершины угла ( O ) отложите угол ( \beta ) от луча ( OB ) аналогичным способом, чтобы получить третий луч ( OC ).
4. Угол ( \angle AOC ) будет равен ( \alpha + \beta ).

Для решения задачи о построении суммы и разности двух отрезков и двух углов с помощью циркуля и линейки, рассмотрим каждый случай по отдельности.

a) Сумма и разность отрезков

1. Сумма отрезков:

   Пусть даны два отрезка (AB) и (CD) с длинами (a) и (b) соответственно.

   Шаги:

   • Начертите отрезок (AB) длиной (a).
   • На одном из концов отрезка (AB) (например, в точке (B)) с помощью циркуля отложите длину второго отрезка (b). Для этого:
     1. Откройте циркуль на длину (b).
     2. Установите один конец циркуля в точке (B) и отметьте новую точку (E) на прямой.
   • Таким образом, отрезок (AE) будет равен (a + b).

2. Разность отрезков:

   Для разности отрезков (AB) и (CD) (где длины (a) и (b) такие, что (a > b)), выполните следующие шаги:

   Шаги:

   • Начертите отрезок (AB) длиной (a).
   • Откройте циркуль на длину (b) (где (b < a)).
   • Установите один конец циркуля в точке (A) и отметьте точку (F) на прямой. Теперь длина отрезка (AF) равна (a - b).
   • Таким образом, отрезок (AF) будет являться разностью (AB) и (CD).

б) Сумма и разность углов

1. Сумма углов:

   Пусть даны два угла (\angle ABC) и (\angle DEF).

   Шаги:

   • Начертите угол (\angle ABC).
   • С помощью транспортира измерьте величину угла (\angle DEF).
   • Для суммы углов необходимо сложить их величины. Измерьте угол (\angle DEF) и отметьте новую точку (G) на одной из линий, образующих угол (\angle ABC) так, чтобы величина угла (CBG) была равна (m(\angle DEF)).
   • Угол (\angle ABG) будет равен сумме углов (\angle ABC) и (\angle DEF).

2. Разность углов:

   Для разности углов (\angle ABC) и (\angle DEF) (где (m(\angle ABC) > m(\angle DEF))):

   Шаги:

   • Начертите угол (\angle ABC).
   • Измерьте величину угла (\angle DEF) с помощью транспортира.
   • С помощью циркуля откройте угол на величину, равную (m(\angle DEF)) и отметьте точку (H) на одной из линий угла (\angle ABC).
   • Для формирования разности углов со стороны, на которой угол (\angle DEF) будет отложен, проведите прямую линию через точку (C) и точку (H).
   • Угол (\angle ABH) будет равен разности углов (\angle ABC) и (\angle DEF).

Таким образом, с помощью циркуля и линейки можно легко построить как сумму, так и разность как отрезков, так и углов.