Постройте треугольник гомотетичный треугольнику ABC если даны центр гомотетии О и ее коэффициент K=2

Для построения треугольника, гомотетичного треугольнику ( \triangle ABC ) относительно центра гомотетии ( O ) с коэффициентом ( K = 2 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определяем, что такое гомотетия:

Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается вдоль прямой, соединяющей её с центром гомотетии ( O ), на расстояние, пропорциональное коэффициенту ( K ). Новый треугольник будет подобен исходному. Коэффициент ( K = 2 ) означает, что расстояния от ( O ) до всех точек треугольника увеличиваются в 2 раза.

2. Пошаговый алгоритм построения:

Шаг 1. Построение прямых от центра гомотетии ( O ) к вершинам ( A, B, C ):

Соединяем центр гомотетии ( O ) с каждой вершиной исходного треугольника ( A, B, C ). В результате получаем три прямые ( OA ), ( OB ), ( OC ).

Шаг 2. Определяем положение новых вершин:

Для каждой из вершин ( A, B, C ) исходного треугольника находим соответствующую новую вершину ( A', B', C' ) гомотетичного треугольника:

• Отмеряем на каждой из прямых ( OA, OB, OC ) расстояние от центра ( O ), равное ( 2 \cdot OA ), ( 2 \cdot OB ), ( 2 \cdot OC ) соответственно. Поскольку ( K = 2 ), новые вершины ( A', B', C' ) будут находиться в два раза дальше от ( O ), чем исходные точки ( A, B, C ).

Для этого используем циркуль или масштабирование на координатной плоскости.

Шаг 3. Построение нового треугольника:

Соединяем точки ( A', B', C' ), полученные на предыдущем этапе. Треугольник ( \triangle A'B'C' ) будет гомотетичным исходному треугольнику ( \triangle ABC ) с центром гомотетии ( O ) и коэффициентом ( K = 2 ).

3. Свойства нового треугольника:

1. Подобие: ( \triangle A'B'C' \sim \triangle ABC ), так как коэффициент гомотетии ( K = 2 ).
2. Пропорциональность сторон: Все стороны нового треугольника в 2 раза длиннее соответствующих сторон исходного треугольника.
3. Соотношение площадей: Площадь нового треугольника в ( K^2 = 4 ) раза больше площади исходного треугольника.
4. Положение относительно центра гомотетии: Центр гомотетии ( O ) остаётся фиксированной точкой, через которую проходят прямые, соединяющие соответствующие вершины треугольников (( AA', BB', CC' )).

4. Пример на координатной плоскости (если известны координаты):

Если ( A(x_1, y_1) ), ( B(x_2, y_2) ), ( C(x_3, y_3) ), а центр гомотетии ( O(x_0, y_0) ), то координаты новых точек ( A'(x_1', y_1') ), ( B'(x_2', y_2') ), ( C'(x_3', y_3') ) вычисляются по формулам: [ x' = x_0 + K \cdot (x - x_0), ] [ y' = y_0 + K \cdot (y - y_0), ] где ( (x, y) ) — координаты исходной точки.

Пример:

1. Пусть ( A(1, 2) ), ( B(2, 3) ), ( C(3, 1) ), ( O(0, 0) ), и ( K = 2 ).
2. Вычисляем новые координаты:
   • ( A'(2 \cdot 1, 2 \cdot 2) = (2, 4) ),
   • ( B'(2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4, 6) ),
   • ( C'(2 \cdot 3, 2 \cdot 1) = (6, 2) ).
3. Соединяем ( A'(2, 4) ), ( B'(4, 6) ), ( C'(6, 2) ) — это треугольник ( \triangle A'B'C' ).

5. Итог:

Треугольник ( \triangle A'B'C' ) построен с использованием гомотетии относительно центра ( O ) с коэффициентом ( K = 2 ). Новый треугольник подобен исходному, увеличен в 2 раза и находится на прямых, проходящих через ( O ) и вершины исходного треугольника.

Для построения треугольника, гомотетичного данному треугольнику ABC с центром гомотетии O и коэффициентом гомотетии K=2, следуйте следующим шагам:

1. Определение начального треугольника: Начнем с того, что у вас уже есть треугольник ABC, состоящий из трех вершин A, B и C.

2. Нахождение центров: Обозначьте центр гомотетии O на плоскости. Это может быть произвольная точка.

3. Построение новых точек: Для каждой из вершин треугольника ABC необходимо найти соответствующую точку A', B' и C' гомотетии. Поскольку K=2, это означает, что новые точки будут находиться на прямых, проходящих через O и соответствующие вершины A, B и C, на расстоянии, в два раза большем, чем расстояния от O до A, O до B и O до C.

4. Применение коэффициента гомотетии:

   • Для точки A:

     • Найдите вектор OA. Умножьте его на коэффициент K=2: ( \vec{OA'} = 2 \cdot \vec{OA} ).
     • Точка A' будет находиться на прямой OA и на расстоянии 2 * OA от O. Если O имеет координаты (x₀, y₀), а A - (x₁, y₁), то: [ A' = O + 2 \cdot (A - O) = (x₀ + 2(x₁ - x₀), y₀ + 2(y₁ - y₀)) ]

   • Аналогично найдите точки B' и C':

     • Для точки B: [ B' = O + 2 \cdot (B - O) = (x₀ + 2(x₂ - x₀), y₀ + 2(y₂ - y₀)) ]
     • Для точки C: [ C' = O + 2 \cdot (C - O) = (x₀ + 2(x₃ - x₀), y₀ + 2(y₃ - y₀)) ]

5. Построение нового треугольника: После нахождения точек A', B' и C' соедините их отрезками, чтобы получить треугольник A'B'C'.

6. Проверка: Убедитесь, что треугольник A'B'C' является гомотетичным треугольнику ABC, т.е. соотношение между соответствующими сторонами и углами сохраняется.

Таким образом, у вас будет треугольник A'B'C', который является гомотетичным треугольнику ABC с центром гомотетии O и коэффициентом K=2.

Чтобы построить треугольник, гомотетичный треугольнику ABC с центром гомотетии O и коэффициентом K=2, выполните следующие шаги:

1. Найдите точки A', B' и C' для треугольника A'B'C':

   • Для каждой вершины треугольника ABC (A, B, C) проведите луч, исходящий из точки O и проходящий через соответствующую вершину.
   • Отметьте на каждом луче точку, которая будет находиться на расстоянии, в два раза большем, чем расстояние от O до соответствующей вершины (A, B, C). То есть A' будет в 2 раза дальше от O, чем A, B' — в 2 раза дальше от O, чем B, и C' — в 2 раза дальше от O, чем C.

2. Соедините точки A', B' и C', чтобы получить треугольник A'B'C'.

Таким образом, треугольник A'B'C' является гомотетичным треугольнику ABC с центром O и коэффициентом K=2.