Прямая ЕF пересекает стороны AB и BC тре-ка ABC в точках E и F так,что уголA+угEFC=180°,а S четырехугольник...

Для начала докажем, что треугольники BFE и BAC подобны.

Из условия задачи известно, что угол A + угол EFC = 180°, что означает, что угол EFC = угол B. Также из условия известно, что S четырехугольника AEFC относится к S треугольника EBF как 16:9, что означает, что площадь треугольника AEFC 16/9 раза больше площади треугольника EBF.

Теперь рассмотрим отношение площадей треугольников BFE и BAC. Пусть x - коэффициент подобия треугольников BFE и BAC. Тогда отношение их площадей будет x^2, так как площадь треугольника пропорциональна квадрату стороны.

Из условия задачи мы имеем, что S треугольника BFE : S треугольника BAC = 9 : 16. Значит, x^2 = 9/16, откуда x = 3/4.

Таким образом, мы доказали, что треугольники BFE и BAC подобны с коэффициентом подобия 3/4.

Для решения данной задачи сначала воспользуемся тем фактом, что угол A и угол EFC в сумме составляют 180°, что означает, что они являются внешним и внутренним углом при вершине F, следовательно, ΔBFE подобен ΔBAC по первому признаку подобия (по двум углам).

Рассмотрим соотношение площадей четырехугольника AEFC и треугольника EBF, которое дано как 16:9. Поскольку четырехугольник AEFC включает в себя треугольник EBF, то площадь четырехугольника AEFC равна площади треугольника EBF плюс площадь треугольника BFC. Таким образом, можно записать:

[ S{AEFC} = S{EBF} + S{BFC} = \frac{16}{9} S{EBF} ]

Где ( S{EBF} ) — площадь треугольника EBF, и ( S{BFC} ) — площадь треугольника BFC. Из выражения выше следует:

[ S{BFC} = \frac{16}{9} S{EBF} - S{EBF} = \frac{7}{9} S{EBF} ]

Заметим, что треугольники EBF и BFC имеют общую сторону BF и лежат на одной линии EF, следовательно, их площади относятся как длины отрезков EF и FC. Так как треугольник BFE подобен треугольнику BAC, длины сторон этих треугольников также должны находиться в определённом соотношении, которое равно квадратному корню из отношения их площадей:

[ k = \sqrt{\frac{S{BAC}}{S{BFE}}} ]

Поскольку площадь BAC включает площади AEFC и BFE, и AEFC уже выражена через BFE, мы можем записать:

[ S{BAC} = S{AEFC} + S{BFE} = \frac{16}{9} S{EBF} + S_{BFE} ]

Учитывая подобие треугольников и отношение площадей, получаем:

[ k = \sqrt{\frac{S{BAC}}{S{BFE}}} = \sqrt{\frac{(\frac{16}{9} S{EBF} + S{BFE})}{S{BFE}}} = \sqrt{\frac{(\frac{16}{9} + 1) S{BFE}}{S_{BFE}}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3} ]

Таким образом, коэффициент подобия треугольников BFE и BAC равен ( \frac{5}{3} ).