Прямая KA перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD.Докажите перпендикулярность прямых KB и BC.

Для доказательства перпендикулярности прямых $KB$ и $BC$ в заданной геометрической конфигурации, рассмотрим следующие шаги:

1. Исходные условия:

   • Прямая $KA$ перпендикулярна к плоскости прямоугольника $ABCD$.
   • $ABCD$ — прямоугольник, расположенный в некоторой плоскости.

2. Определения и свойства перпендикулярности:

   • Прямая $KA$ перпендикулярна к плоскости $ABCD$ означает, что $KA$ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$.
   • Прямоугольник $ABCD$ имеет стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Стороны $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $B$.

3. Анализ прямых в плоскости прямоугольника:

   • Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны друг другу: $AB\perp BC$.

4. Рассмотрение перпендикулярности прямой $KA$ к плоскости $ABCD$:

   • Из условия $KA\perp \text{плоскости }ABCD$ следует, что $KA\perp AB$ и $KA\perp BC$. Это означает, что $KA$ образует 90-градусные углы с прямыми $AB$ и $BC$.

5. Рассмотрение прямой $KB$:

   • Прямая $KB$ соединяет точку $K$ с точкой $B$ на плоскости прямоугольника. Поскольку $K$ лежит на прямой $KA$, перпендикулярной плоскости $ABCD$, следовательно, $K$ — это точка, находящаяся вне плоскости $ABCD$.

6. Доказательство перпендикулярности $KB$ и $BC$:

   • Рассмотрим треугольник $KAB$. В этом треугольнике:

     • $KA\perp AB$ по условию.
     • $KA\perp BC$ по условию.

   • Таким образом, $K$ является точкой, из которой проведены перпендикуляры к двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ на плоскости $ABCD$.

   • Следовательно, треугольник $KAB$ является прямоугольным треугольником с гипотенузой $KB$.

   • Поскольку $KA\perp BC$, и $KA$ проходит через точку $K$ вне плоскости, то прямая $KB$ также перпендикулярна $BC$, потому что $KA$ и $KB$ лежат в одной вертикальной плоскости, образуя прямой угол с горизонтальной прямой $BC$.

Таким образом, исходя из перпендикулярности прямой $KA$ к плоскости прямоугольника $ABCD$ и анализа взаимных положений прямых и точек, можно заключить, что прямая $KB$ перпендикулярна прямой $BC$, что и требовалось доказать.

Для доказательства перпендикулярности прямых KB и BC можно воспользоваться следующим рассуждением:

Поскольку прямая KA перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD, то она перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости. Таким образом, прямая KB, которая лежит в плоскости ABCD, будет также перпендикулярна к прямой KA.

Теперь рассмотрим треугольник KBC. Так как прямая KB перпендикулярна к прямой KA, а сторона BC прямоугольника ABCD, то угол KBC является прямым. Это означает, что прямая KB перпендикулярна к стороне BC прямоугольника ABCD.

Таким образом, мы доказали, что прямая KB перпендикулярна к стороне BC прямоугольника ABCD.