Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и четырехугольник, площади которых...

Для решения задачи необходимо использовать свойства подобия треугольников и соотношение площадей.

1. Обозначим площади: Пусть площадь треугольника, который образуется выше прямой, будет ( S_1 ), а площадь четырехугольника — ( S_2 ). Согласно условию, ( S_1 : S_2 = 25 : 24 ). Это можно записать в виде: [ S_1 = 25k, \quad S_2 = 24k ] для некоторого ( k > 0 ). Общая площадь треугольника ( S ) равна ( S_1 + S_2 = 25k + 24k = 49k ).

2. Соотношение площадей: Поскольку прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на два подобных треугольника, то отношение их площадей также равно квадрату отношения соответствующих линейных размеров (например, высот): [ \frac{S_1}{S} = \left( \frac{h_1}{H} \right)^2 ] где ( h_1 ) — высота меньшего треугольника, а ( H ) — высота большего треугольника. Следовательно: [ \frac{25k}{49k} = \left( \frac{h_1}{H} \right)^2 ] Отсюда находим: [ \frac{25}{49} = \left( \frac{h_1}{H} \right)^2 ] Из этого уравнения мы можем выразить отношение высот: [ \frac{h_1}{H} = \frac{5}{7} ]

3. Отношение периметров: Поскольку треугольники подобны, отношение их периметров также будет равно отношению соответствующих линейных размеров (в данном случае высот). Обозначим периметр меньшего треугольника как ( P_1 ) и большего как ( P_2 ): [ \frac{P_1}{P_2} = \frac{h_1}{H} = \frac{5}{7} ] Так как ( P_2 = 21 \, \text{см} ), то: [ P_1 = P_2 \cdot \frac{5}{7} = 21 \cdot \frac{5}{7} = 15 \, \text{см} ]

Таким образом, периметр меньшего треугольника равен ( 15 \, \text{см} ).

Если прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на меньший треугольник и четырехугольник с отношением площадей 25:24, то это означает, что отношение оснований (или высот) этих фигур будет равно корню из отношения их площадей.

Пусть ( S_1 ) — площадь меньшего треугольника, а ( S_2 ) — площадь большего. Из условия:

[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{25}{24} ]

Следовательно, отношение оснований (или высот) будет:

[ \frac{h_1}{h_2} = \sqrt{\frac{25}{24}} = \frac{5}{\sqrt{24}} = \frac{5}{2\sqrt{6}} ]

Поскольку отношение периметров треугольников равно отношению их оснований (в случае равных углов), то периметры также будут относиться как ( 5:6 ).

Пусть периметр меньшего треугольника равен ( P_1 ), а периметр большего — ( P_2 = 21 ) см. Тогда:

[ \frac{P_1}{21} = \frac{5}{6} ]

Отсюда:

[ P_1 = 21 \cdot \frac{5}{6} = 17.5 \text{ см} ]

Таким образом, периметр меньшего треугольника равен 17.5 см.

Рассмотрим задачу подробно.

Дано:

1. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на меньший треугольник и четырехугольник.
2. Отношение площадей меньшего треугольника и четырехугольника равно ( 25 : 24 ).
3. Периметр большего треугольника равен ( 21 \, \text{см} ).

Требуется найти:

Периметр меньшего треугольника.

Разбор задачи:

1. Свойство параллельной прямой в треугольнике:

Когда прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на две фигуры, меньший треугольник подобен большему треугольнику. Это означает, что:

• Отношение их сторон равно коэффициенту подобия ( k ),
• Отношение их площадей равно ( k^2 ), где ( k ) — это отношение длин сторон меньшего треугольника к большему.

2. Используем отношение площадей:

По условию, площади меньшего треугольника и четырехугольника относятся как ( 25 : 24 ). Из этого можно найти, что площадь большего треугольника (как сумма двух фигур) будет пропорциональна ( 25 + 24 = 49 ).

Отношение площадей: [ \frac{\text{Площадь меньшего треугольника}}{\text{Площадь большего треугольника}} = \frac{25}{49}. ]

Значит, коэффициент подобия ( k ) удовлетворяет уравнению: [ k^2 = \frac{25}{49}. ] Берем квадратный корень: [ k = \frac{5}{7}. ]

3. Отношение периметров:

В подобных треугольниках отношение периметров равно коэффициенту подобия ( k ). То есть: [ \frac{\text{Периметр меньшего треугольника}}{\text{Периметр большего треугольника}} = k. ]

Из этого следует: [ \text{Периметр меньшего треугольника} = k \cdot \text{Периметр большего треугольника}. ]

Подставляем значения: [ \text{Периметр меньшего треугольника} = \frac{5}{7} \cdot 21. ]

Выполняем вычисления: [ \text{Периметр меньшего треугольника} = 15 \, \text{см}. ]

Ответ:

Периметр меньшего треугольника равен ( \mathbf{15 \, \text{см}} ).