Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его сторону AB в точке M, а сторону BC-...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами параллелограммов и треугольников.

Поскольку прямая MK параллельна стороне AC треугольника ABC, то треугольник ABM подобен треугольнику ABC по признаку угловой схожести (так как угол ABM равен углу ABC, а угол B равен самому себе). Таким образом, отношение сторон треугольников ABM и ABC равно отношению сторон AM и AC, то есть равно 4/7.

Из условия задачи известно, что площадь четырёхугольника AMKC равна 80 кв. см. Так как площадь треугольника ABC равна площади треугольника ABM умноженной на 7/3, то мы можем записать уравнение:

(1/2) AM BM * (7/3) = 80

Подставляем известные значения:

(1/2) 4 3 * (7/3) = 80 24 = 80

Из этого уравнения получаем, что площадь треугольника ABC равна 24 кв. см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами подобия треугольников и параллельных прямых.

1. Определим отношения стороны AB:

   • У нас дана длина отрезков ( BM = 3 ) см и ( AM = 4 ) см, следовательно, ( AB = AM + BM = 4 + 3 = 7 ) см.

2. Используем свойства параллельных прямых:

   • Поскольку прямая ( MK ) параллельна стороне ( AC ) треугольника ( ABC ), треугольники ( \triangle AMK ) и ( \triangle ABC ) подобны. Это следует из признака подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

3. Определим коэффициент подобия:

   • Коэффициент подобия между треугольниками ( \triangle AMK ) и ( \triangle ABC ) равен отношению соответствующих сторон: [ \text{Коэффициент подобия} = \frac{AM}{AB} = \frac{4}{7}. ]

4. Связь площадей подобных треугольников:

   • Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Пусть ( S ) — площадь треугольника ( ABC ), тогда площадь треугольника ( AMK ) равна: [ S_{AMK} = S \times \left(\frac{4}{7}\right)^2 = S \times \frac{16}{49}. ]

5. Выразим площадь четырёхугольника ( AMKC ):

   • Площадь четырёхугольника ( AMKC ) равна разности площадей треугольника ( ABC ) и треугольника ( AMK ): [ S{AMKC} = S - S{AMK} = S - S \times \frac{16}{49} = S \times \left(1 - \frac{16}{49}\right) = S \times \frac{33}{49}. ]

6. Подставим известное значение площади четырёхугольника: [ S \times \frac{33}{49} = 80. ]

7. Найдём площадь треугольника ( ABC ): [ S = 80 \times \frac{49}{33}. ]

   [ S = \frac{3920}{33}. ]

   [ S \approx 118.79 \text{ кв. см}. ]

Таким образом, площадь треугольника ( ABC ) примерно равна ( 118.79 ) квадратных сантиметров.