Прямая пересекает стороны треугольника ABC в точках М и K соответственно так, что MK || АС, ВМ: АМ= 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника AВС равен 25 см.
Прямая пересекает стороны треугольника ABC в точках М и K соответственно так, что MK || АС, ВМ: АМ= 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника AВС равен 25 см.
Периметр треугольника ВМК равен 10 см.
Для решения задачи используем свойства подобия треугольников и теорему о пропорциональных отрезках.
Так как MK параллельна AC, то по теореме о пропорциональных отрезках треугольник BMK подобен треугольнику BAC с коэффициентом подобия, равным отношению соответствующих сторон.
Определим коэффициент подобия ( k ). Из условия ( \frac{BM}{AM} = \frac{1}{4} ), следовательно, AM = 4BM. Поскольку BM + AM = AB, то ( AB = BM + 4BM = 5BM ). Таким образом, ( BM = \frac{AB}{5} ).
Так как MK параллельна AC, то треугольник BMK подобен треугольнику BAC. Следовательно, все соответствующие линейные размеры треугольника BMK в 5 раз меньше, чем у треугольника BAC.
Периметр треугольника BMK будет в 5 раз меньше периметра треугольника BAC. Так как периметр треугольника ABC равен 25 см, то периметр треугольника BMK будет ( \frac{25}{5} = 5 ) см.
Таким образом, периметр треугольника BMK равен 5 см.
Для начала найдем длину отрезка АМ. Пусть x - длина отрезка ВМ, тогда длина отрезка АМ равна 4x. Таким образом, периметр треугольника АВС равен x + 4x + 5x = 25, откуда x = 5 см. Теперь мы знаем, что длина отрезка ВМ равна 5 см, а длина отрезка АМ равна 20 см.
Так как отрезок МК параллелен стороне АС, то треугольники ВМК и ВАС подобны. Поэтому отношение сторон треугольников равно отношению длин отрезков: ВМ/AC = МК/CS = КМ/BC. Так как ВМ/АС = 1/4, то ВМ/ВС = 1/5, откуда ВС = 25 см.
Теперь можем найти длины сторон треугольника ВМК. ВК = ВМ + МК = 5 + 25 = 30 см, ВМ = 5 см, МК = 20 см. Таким образом, периметр треугольника ВМК равен 5 + 20 + 30 = 55 см.
