Прямая пересекающая основания цилиндра в точках, лежащих на окружности оснований, наклонная к ним под...

Для решения задачи, начнем с анализа геометрической ситуации и используем свойства цилиндра, окружностей и геометрии наклонной прямой.

Дано:

1. Радиус основания цилиндра ( R = 13 ) см.
2. Расстояние от наклонной прямой до оси цилиндра ( d = 5 ) см.
3. Прямая наклонена к основаниям цилиндра под углом ( \alpha = 60^\circ ).

Требуется найти высоту цилиндра ( h ).

Шаг 1. Построение и анализ

Цилиндр имеет две параллельные круглые основания, лежащие в плоскостях ( z = 0 ) (нижнее основание) и ( z = h ) (верхнее основание). Ось цилиндра совпадает с ( z )-осью, а радиус окружностей основания равен ( R = 13 ).

Прямая пересекает оба основания цилиндра в двух точках, принадлежащих окружностям этих оснований. Прямая наклонена под углом ( \alpha = 60^\circ ) к плоскостям оснований.

Шаг 2. Уравнение наклонной прямой

Наклонная прямая удалена от оси цилиндра на расстояние ( d = 5 ), то есть минимальное расстояние от этой прямой до оси цилиндра равно ( d ). Чтобы описать геометрию прямой, рассмотрим её в пространстве.

Пусть ось цилиндра совпадает с ( z )-осью, а плоскости оснований находятся на ( z = 0 ) и ( z = h ). Наклонная прямая пересекает окружности оснований в двух точках. С учётом наклона ( 60^\circ ) и удаления ( d = 5 ), прямая может быть задана параметрически:

[ x(t) = 5 + t \cos 60^\circ, \quad y(t) = t \sin 60^\circ, \quad z(t) = t. ]

Здесь ( t ) — параметр, определяющий положение точки на прямой.

Шаг 3. Условие пересечения с окружностями

Окружность нижнего основания цилиндра (в плоскости ( z = 0 )) задаётся уравнением:

[ x^2 + y^2 = R^2. ]

Подставим параметрическое уравнение наклонной прямой в уравнение окружности:

[ (5 + t \cos 60^\circ)^2 + (t \sin 60^\circ)^2 = R^2. ]

Подставим значения ( \cos 60^\circ = 1/2 ) и ( \sin 60^\circ = \sqrt{3}/2 ):

[ \left(5 + \frac{t}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)^2 = R^2. ]

Раскроем скобки и упростим:

[ \left(5 + \frac{t}{2}\right)^2 = 25 + 5t + \frac{t^2}{4}, ] [ \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)^2 = \frac{3t^2}{4}. ]

Суммируем:

[ 25 + 5t + \frac{t^2}{4} + \frac{3t^2}{4} = R^2. ]

Объединим дроби и упростим:

[ 25 + 5t + t^2 = R^2. ]

Подставим ( R = 13 ) (радиус основания):

[ 25 + 5t + t^2 = 169. ]

Шаг 4. Решение квадратного уравнения

Приведём уравнение к стандартному виду:

[ t^2 + 5t - 144 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 25 + 576 = 601. ]

Корни уравнения:

[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{601}}{2}. ]

Оставляем положительное значение параметра ( t ), так как оно соответствует пересечению прямой с верхним основанием цилиндра. Положительный корень равен:

[ t_1 = \frac{-5 + \sqrt{601}}{2}. ]

Шаг 5. Высота цилиндра

Поскольку прямая наклонена под углом ( 60^\circ ) к основаниям цилиндра, её проекция на ( z )-ось (высота) равна разности ( z )-координат точек пересечения прямой с верхним и нижним основаниями. В данном случае высота цилиндра равна абсолютному значению параметра ( t_1 ), так как нижнее основание находится на ( z = 0 ), а верхнее — на ( z = h ).

[ h = t_1 = \frac{-5 + \sqrt{601}}{2}. ]

Приблизительное значение:

[ \sqrt{601} \approx 24.51, \quad h \approx \frac{-5 + 24.51}{2} \approx \frac{19.51}{2} \approx 9.76 \, \text{см}. ]

Ответ:

Высота цилиндра ( h \approx 9.76 \, \text{см} ).

Для решения задачи начнем с визуализации ситуации. У нас есть цилиндр с радиусом оснований ( R = 13 ) см. Прямая, пересекающая основания цилиндра, наклонена под углом ( 60^\circ ) к основаниям и удалена от оси цилиндра на ( d = 5 ) см.

Шаг 1: Найдем горизонтальную проекцию наклонной прямой

Поскольку прямая наклонена под углом ( 60^\circ ), мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты цилиндра. Прямая, образующая угол ( 60^\circ ) с плоскостью оснований, будет иметь горизонтальную и вертикальную проекции. Обозначим высоту цилиндра как ( h ).

Горизонтальная проекция наклонной прямой будет равна ( h_{\text{гор}} = h \cdot \cos(60^\circ) = h \cdot \frac{1}{2} = \frac{h}{2} ).

Шаг 2: Найдем расстояние от оси цилиндра до точки пересечения

Расстояние от оси цилиндра до точки, где прямая пересекает основание, равно радиусу основания ( R ) минус расстояние ( d ): [ R' = R - d = 13 - 5 = 8 \text{ см}. ]

Шаг 3: Применим теорему Пифагора

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где:

• одна сторона — высота цилиндра ( h ),
• другая сторона — горизонтальная проекция ( \frac{h}{2} ),
• гипотенуза — расстояние от точки пересечения прямой, проведенной под углом ( 60^\circ ), до оси цилиндра.

Поэтому можем записать: [ \left(\frac{h}{2}\right)^2 + h^2 = (R')^2. ]

Подставим известные значения: [ \left(\frac{h}{2}\right)^2 + h^2 = 8^2, ] [ \frac{h^2}{4} + h^2 = 64. ]

Шаг 4: Упрощение уравнения

Сложим дроби: [ \frac{h^2}{4} + \frac{4h^2}{4} = 64, ] [ \frac{5h^2}{4} = 64. ]

Умножим обе стороны на 4: [ 5h^2 = 256. ]

Разделим на 5: [ h^2 = \frac{256}{5}, ] [ h^2 = 51.2. ]

Теперь извлечем корень: [ h = \sqrt{51.2} \approx 7.16 \text{ см}. ]

Итог

Таким образом, высота цилиндра составляет примерно ( 7.16 ) см.

Для нахождения высоты цилиндра можно использовать треугольник, образованный проекцией наклонной на ось цилиндра и высотой.

Дано:

• Радиус основания цилиндра ( r = 13 ) см.
• Угол наклона ( \alpha = 60^\circ ).
• Расстояние от оси цилиндра до наклонной ( d = 5 ) см.

Высота ( h ) цилиндра будет равна длине проекции наклонной на вертикальную ось, которая определяется по формуле: [ h = d \cdot \tan(\alpha) ] Сначала найдем ( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} ).

Теперь подставим значения: [ h = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66 \text{ см} ]

Таким образом, высота цилиндра примерно равна ( 8.66 ) см.