Прямая проходит через середину диагонали AC параллелограма ABCD и пересекает стороны BC и AD в точках...

Для доказательства того, что четырёхугольник AMCK является параллелограммом, воспользуемся следующими свойствами параллелограмма: противоположные стороны равны и параллельны.

Обозначим E как середину диагонали AC параллелограмма ABCD. Так как E - середина AC, по свойству диагоналей параллелограмма, диагонали делят друг друга пополам, следовательно, AE = EC.

Прямая MK проходит через точку E и пересекает стороны AD и BC в точках K и M соответвенно.

1. Показываем, что AM параллельна CK:

   Так как MK проходит через середину AC, рассмотрим треугольники AEM и CEM. Точка E — середина AC, а MK пересекает стороны AD и BC, соответственно, AE = EC и ME и KE лежат на одной прямой.

   Поскольку E делит AC пополам, и MK пересекает стороны AD и BC, то по теореме о средней линии треугольника, ME и KE также равны, и MK параллельна AB (как средняя линия треугольника ADB и треугольника BCD). Так как MK параллельна AB, и AB параллельна CD в параллелограмме ABCD, то AM параллельна CK.

2. Показываем, что AM равна CK:

   Поскольку MK — средняя линия треугольников ADB и BCD, то длина MK равна половине длины AB (или CD, так как AB = CD в параллелограмме ABCD). Следовательно, длины отрезков AM и CK также равны половине длины AB, то есть AM = CK.

3. Показываем, что AC параллельна MK и равна MK:

   По уже упомянутому свойству средней линии, AC параллельна MK и равна MK.

Теперь у нас есть следующие факты:

• AM параллельна CK;
• AM равна CK;
• AC параллельна MK;
• AC равна MK.

По определению параллелограмма, если в четырёхугольнике противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, AMCK — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырехугольник AMCK является параллелограмом, можно воспользоваться свойством прямых, проходящих через середину диагонали параллелограмма.

Поскольку прямая MN проходит через середину диагонали AC, то она делит эту диагональ пополам, то есть AM=MC. Также из свойств параллелограмма известно, что диагонали этой фигуры делятся пополам друг друга, то есть AK=KC.

Таким образом, получаем, что AM=MC и AK=KC, что является условием параллелограммов. Следовательно, четырехугольник AMCK действительно является параллелограмом.