"Прямая проходит через точки А(-2;-1) и В(1;1). Найдите площадь треугольника, ограниченного этой прямой...

Для того чтобы найти площадь треугольника, образованного прямой, проходящей через точки А(-2;-1) и В(1;1), и осями координат, нужно сначала найти точку пересечения прямой с осями координат.

Уравнение прямой, проходящей через точки А и В, можно найти, используя формулу для нахождения уравнения прямой по двум точкам:

y - y₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) * (x - x₁)

Подставляем координаты точек А и В:

y + 1 = (1 - (-1)) / (1 - (-2)) * (x + 2)

y + 1 = 2/3 * (x + 2)

y + 1 = 2/3x + 4/3

2/3x - y + 1 = 4/3

Уравнение прямой: 2x - 3y + 3 = 0

Теперь находим точку пересечения с осями координат, подставляя x=0 и y=0 в уравнение прямой:

Для оси X: 2*0 - 3y + 3 = 0 => y = 1

Для оси Y: 2x - 3*0 + 3 = 0 => x = -3/2

Таким образом, точка пересечения прямой с осями координат: (-3/2; 0) и (0; 1).

Теперь находим высоту треугольника, проведенную к прямой. Расстояние от точки А до прямой можно найти по формуле:

h = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2)

Уравнение прямой: 2x - 3y + 3 = 0 A = 2, B = -3, C = 3, x = -2, y = -1

h = |2(-2) - 3(-1) + 3| / √(2^2 + (-3)^2) h = |(-4) + 3 + 3| / √(4 + 9) h = 2 / √13

Теперь находим площадь треугольника по формуле:

S = 1/2 основание высота

Основание треугольника равно расстоянию между точками (-3/2; 0) и (0; 1):

|(-3/2) - 0| = 3/2

S = 1/2 (3/2) (2 / √13) = 3 / √13

Итак, площадь треугольника, ограниченного прямой и осями координат, равна 3 / √13.

Для начала найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(-2, -1) и B(1, 1). Используем уравнение прямой в форме ( y = mx + b ).

1. Найдем угловой коэффициент ( m ): [ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - (-1)}{1 - (-2)} = \frac{2}{3} ]

2. Подставляем координаты одной из точек (например, точки A) в уравнение для нахождения ( b ): [ -1 = \frac{2}{3}(-2) + b ] [ -1 = -\frac{4}{3} + b ] [ b = -1 + \frac{4}{3} = \frac{-3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{1}{3} ]

Таким образом, уравнение прямой: [ y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} ]

1. Найдем точки пересечения прямой с осями координат. Для оси Y (x = 0): [ y = \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} ] Получаем точку ( C(0, \frac{1}{3}) ).

2. Для оси X (y = 0): [ 0 = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} ] [ -\frac{1}{3} = \frac{2}{3}x ] [ x = -\frac{1}{2} ] Получаем точку ( D(-\frac{1}{2}, 0) ).

3. Теперь у нас есть координаты трех точек треугольника: ( C(0, \frac{1}{3}) ), ( D(-\frac{1}{2}, 0) ), и ( O(0,0) ) (начало координат).

4. Площадь треугольника по формуле с координатами вершин: [ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| ] Подставляем координаты точек: [ S = \frac{1}{2} \left| 0\left(0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - 0\right) + 0\left(0 - 0\right) \right| ] [ S = \frac{1}{2} \left| -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \right| ] [ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} ]

Итак, площадь треугольника, ограниченного прямой ( y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} ) и осями координат, равна ( \frac{1}{12} ) квадратных единиц.