Прямоугольная трапеция с углом в 45градусов вращается вокруг прямой, содержащей большее основание. Найдите...

Для решения задачи найдем площадь поверхности тела вращения, образованного вращением прямоугольной трапеции вокруг прямой, содержащей большее основание.

Дано:

1. Трапеция прямоугольная, то есть один из углов прямой, а один из наклонных углов равен ${45}^{\circ }$.
2. Основания трапеции: большее — $5\text{см}$, меньшее — $3\text{см}$.
3. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей большее основание $(5\text{см}$).

Шаг 1. Определим высоту трапеции

Так как угол между высотой $перпендикуляромкоснованиям$ и наклонной стороной равен ${45}^{\circ }$, значит, наклонная сторона вместе с высотой образует равнобедренный прямоугольный треугольник. В таком треугольнике катеты равны. Пусть высота трапеции равна $h$. Тогда длина наклонной стороны также равна $h$.

Разность оснований трапеции равна: $5-3=2\text{см}.$ Эта разность совпадает с длиной горизонтального катета треугольника, образованного наклонной стороной и высотой. Поскольку треугольник равнобедренный, горизонтальный катет равен $h$. Следовательно: $h=2\text{см}.$

Итак, высота трапеции $h=2\text{см}$.

Шаг 2. Определим форму тела вращения

При вращении трапеции вокруг большего основания $(5\text{см}$) образуется тело, состоящее из двух частей:

1. Цилиндр, образованный вращением прямоугольной части трапеции $высота((2\text{см}$) и меньшее основание $(3\text{см}$)).
2. Усеченный конус, образованный вращением треугольной части $наклоннаясторона((2\text{см}$) и разность оснований $(2\text{см}$)).

Шаг 3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра

Формула для боковой поверхности цилиндра: $S_{\text{цилиндра}}=2\pi rh,$ где $r$ — радиус основания цилиндра, $h$ — высота цилиндра.

Здесь радиус цилиндра равен меньшему основанию трапеции $(r=3\text{см}$), а высота цилиндра равна высоте трапеции $(h=2\text{см}$). Подставим значения: $S_{\text{цилиндра}}=2\pi \cdot 3\cdot 2=12\pi {\text{см}}^2.$

Шаг 4. Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса

Формула для площади боковой поверхности усеченного конуса: $S_{\text{усеченного конуса}}=\pi (R+r)l,$ где $R$ и $r$ — радиусы оснований усеченного конуса, $l$ — образующая $наклоннаясторона$.

• Радиус большего основания $R=5\text{см}$ $большееоснованиетрапеции$.
• Радиус меньшего основания $r=3\text{см}$ $меньшееоснованиетрапеции$.
• Образующая $l=2\text{см}$ $наклоннаясторонатрапеции$.

Подставим значения: $S_{\text{усеченного конуса}}=\pi (5+3)\cdot 2=\pi \cdot 8\cdot 2=16\pi {\text{см}}^2.$

Шаг 5. Найдем полную площадь поверхности тела вращения

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей цилиндра и усеченного конуса: [ S{\text{тела}} = S{\text{цилиндра}} + S{\text{усеченного конуса}}. ] Подставим найденные значения: [ S{\text{тела}} = 12 \pi + 16 \pi = 28 \pi \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь поверхности тела вращения равна: $\boxed{{\displaystyle 28\pi {\text{см}}^2}}.$

Для решения задачи необходимо понять, что при вращении прямоугольной трапеции вокруг прямой, содержащей большее основание, образуется фигура, называемая телом вращения. В данном случае, мы имеем дело с прямоугольной трапецией, у которой угол при одном из оснований равен 45 градусам.

Дано:

• Большое основание $a$ = 5 см
• Малое основание $b$ = 3 см
• Угол при малом основании = 45 градусов

1. Определение высоты трапеции

В прямоугольной трапеции с углом 45 градусов и малым основанием 3 см, высота $h$ равна длине отрезка, перпендикулярного основанию, проведенного от конца малой стороны до линии, проходящей через конец большей стороны. В этом случае:

$h=b=3\text{ см}$

2. Определение радиусов

При вращении трапеции, расстояние от оси вращения $котораяпроходитчерезбольшееоснование$ до крайних точек малой стороны будет являться радиусами вращения. Обозначим радиусы:

• Радиус, соответствующий большому основанию $R1$ = 5 см $дистанцияотосивращениядобольшегооснования$
• Радиус, соответствующий малому основанию $R2$ = 3 см $дистанцияотосивращениядоменьшегооснования$

3. Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения можно вычислить по формуле для площади боковой поверхности цилиндра:

$S=\pi (R_1^2-R_2^2)+2\pi R_{1}h$

Где:

• $R_1=5\text{ см}$
• $R_2=3\text{ см}$
• $h=3\text{ см}$

Площадь боковой поверхности

Сначала найдем площадь боковой поверхности:

$S_{\text{бок}}=\pi (R_1^2-R_2^2)=\pi (5^2-3^2)=\pi (25-9)=\pi \cdot 16=16\pi {\text{ см}}^2$

Площадь оснований

Затем, площадь оснований:

$S_{\text{осн}}=2\pi R_{1}h=2\pi \cdot 5\cdot 3=30\pi {\text{ см}}^2$

4. Общая площадь поверхности

Теперь сложим обе площади:

[ S{\text{общ}} = S{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 16\pi + 30\pi = 46\pi \text{ см}^2 ]

Ответ

Таким образом, площадь поверхности тела вращения, образованного вращением прямоугольной трапеции вокруг большего основания, составляет:

$S\approx 46\pi \approx 144.51{\text{ см}}^2(\text{используя }\pi \approx 3.14)$