Прямоугольник,диагональ которого равна 25 см,а одна сторона 20 см,вращается вокруг меньшей стороны.Вычислите: а) длину высоты полученного цилиндра, б) площадь основания цилиндра.
Прямоугольник,диагональ которого равна 25 см,а одна сторона 20 см,вращается вокруг меньшей стороны.Вычислите: а) длину высоты полученного цилиндра, б) площадь основания цилиндра.
Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа данных.
У нас есть прямоугольник с диагональю 25 см и одной стороной 20 см. Пусть стороны прямоугольника будут обозначены как (a) и (b), где (a = 20) см, и (b) — это сторона, которую мы ещё не знаем. Диагональ прямоугольника задается формулой для прямоугольного треугольника:
[ d = \sqrt{a^2 + b^2} ]
Подставим известные значения:
[ 25 = \sqrt{20^2 + b^2} ]
Возведем уравнение в квадрат:
[ 625 = 400 + b^2 ]
Решим его относительно (b):
[ b^2 = 625 - 400 = 225 ]
[ b = \sqrt{225} = 15 \text{ см} ]
Теперь, когда мы знаем, что меньшая сторона (b = 15) см, мы можем решить задачу.
а) Длина высоты полученного цилиндра — это как раз меньшая сторона прямоугольника, вокруг которой он вращается. Следовательно, высота цилиндра равна 15 см.
б) Площадь основания цилиндра определяется как площадь круга с радиусом, равным большей стороне прямоугольника, то есть (a = 20) см. Площадь круга вычисляется по формуле:
[ S = \pi r^2 ]
Здесь (r = 20) см, поэтому:
[ S = \pi \times 20^2 = 400\pi \text{ квадратных сантиметров} ]
Таким образом, длина высоты цилиндра равна 15 см, а площадь основания — (400\pi) квадратных сантиметров.
а) Для вычисления длины высоты полученного цилиндра используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю, одной стороной прямоугольника и высотой цилиндра: (h = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15) см.
б) Площадь основания цилиндра равна площади прямоугольника, которая равна произведению его сторон: (S = 20 \cdot 15 = 300) см².
