Прямоугольный треугольник катеты 12 и16 см вращается вокруг гипотенузы найдите площадь поверхности и...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулы для нахождения площади поверхности и объема тела вращения.

1. Площадь поверхности тела вращения: Сначала найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: (c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20) см

Теперь найдем площадь поверхности тела вращения по формуле: (S = 2\pi rh), где r - радиус вращения (половина длины гипотенузы), h - длина окружности, равная длине гипотенузы.

(S = 2\pi \cdot \frac{20}{2} \cdot 20 = 40\pi \cdot 20 = 800\pi) см²

1. Объем тела вращения: Объем тела вращения можно найти по формуле: (V = \frac{1}{3} \pi r^2 h), где r - радиус вращения, h - высота треугольника, равная катету.

(V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{20}{2}\right)^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 10^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 100 \cdot 12 = 400\pi) см³

Итак, площадь поверхности тела вращения равна 800π квадратных сантиметров, а объем тела вращения равен 400π кубических сантиметров.

Чтобы найти площадь поверхности и объем тел вращения, образованных прямоугольным треугольником с катетами 12 см и 16 см, который вращается вокруг гипотенузы, нам сначала нужно найти длину гипотенузы и затем использовать формулы для вычисления площади и объема.

Шаг 1: Найдите длину гипотенузы

Для прямоугольного треугольника, длина гипотенузы ( c ) может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

[ c = \sqrt{a^2 + b^2} ]

где ( a = 12 ) см и ( b = 16 ) см.

[ c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см} ]

Шаг 2: Найдите площадь поверхности тела вращения

Когда прямоугольный треугольник вращается вокруг своей гипотенузы, он образует конусообразное тело, называемое парболическим сегментом. Однако для упрощения вычислений, можно воспользоваться формулами для тела, образованного вращением треугольника вокруг оси.

Площадь боковой поверхности тела вращения, образованного при вращении треугольника вокруг гипотенузы, можно найти по формуле:

[ A = \pi (r_1^2 + r_2^2) ]

где ( r_1 ) и ( r_2 ) — это длины катетов. В данном случае:

[ A = \pi (12^2 + 16^2) = \pi (144 + 256) = 400\pi \text{ см}^2 ]

Шаг 3: Найдите объем тела вращения

Объем тела вращения, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, можно найти с использованием метода интегрирования или формулы для тела, образованного вращением треугольника:

[ V = \frac{1}{3} \pi r_1 r_2 h ]

где ( r_1 ) и ( r_2 ) — катеты треугольника, а ( h ) — длина гипотенузы.

[ V = \frac{1}{3} \pi \times 12 \times 16 \times 20 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3840 = 1280\pi \text{ см}^3 ]

Итак, площадь поверхности тела вращения составляет ( 400\pi ) квадратных сантиметров, а объем — ( 1280\pi ) кубических сантиметров.