Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 15 см и 8 см вращается возле большего катета. Найдите...

Для нахождения площади боковой поверхности тела вращения прямоугольного треугольника воспользуемся формулой S = 2π r l, где r - радиус вращения (в данном случае больший катет), l - длина образующей.

1. Найдем длину образующей (l): l = √(a^2 + b^2), где a и b - катеты прямоугольного треугольника l = √(15^2 + 8^2) = √(225 + 64) = √289 = 17 см

2. Найдем радиус вращения (r) - в данном случае больший катет: r = 15 см

3. Теперь подставим найденные значения в формулу: S = 2π 15 17 S = 30π * 17 S ≈ 510 см²

Таким образом, площадь боковой поверхности тела вращения прямоугольного треугольника с катетами 15 см и 8 см вокруг большего катета составляет около 510 квадратных сантиметров.

Для решения задачи необходимо понять, что при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус. В данном случае, вращение идет вокруг большего катета (15 см). Это значит, что меньший катет (8 см) станет радиусом основания конуса, а гипотенуза (гипотенуза прямоугольного треугольника) станет образующей конуса.

Шаг 1: Найдите гипотенузу треугольника

Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы (( c )):

[ c = \sqrt{a^2 + b^2} ]

где ( a ) и ( b ) — катеты треугольника.

Подставляем значения:

[ c = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \, \text{см} ]

Шаг 2: Определите элементы конуса

При вращении треугольника образуется конус, у которого:

• Радиус основания ( r ) = 8 см (меньший катет)
• Высота ( h ) = 15 см (больший катет)
• Образующая ( l ) = 17 см (гипотенуза)

Шаг 3: Найдите площадь боковой поверхности конуса

Формула для площади боковой поверхности конуса:

[ S_{\text{бок}} = \pi r l ]

Подставляем известные значения:

[ S_{\text{бок}} = \pi \times 8 \times 17 = 136 \pi \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь боковой поверхности тела вращения (конуса) составляет:

[ S_{\text{бок}} = 136 \pi \, \text{см}^2 ]

Шаг 4: Нарисуйте схему

Для наглядности нарисуем схему:

1. Нарисуйте прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 8 см.
2. Отметьте гипотенузу длиной 17 см.
3. Показать вращение треугольника вокруг катета длиной 15 см, чтобы стало видно, что образуется конус.

          (A)
          /|
         / |
        /  |
       /   |
  17  /    |  15
     /_____|
   (B)   8

После вращения вокруг катета 15 см:

         ______
      __/      \__
    /              \
  /                  \
 |                    |
/                      \
\                      /
 |                    |
  \                  /
    \______________/
/                        \

В данном рисунке, высота конуса — 15 см, радиус основания — 8 см, образующая — 17 см.

Заключение

Площадь боковой поверхности тела вращения (конуса) при вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета равна ( 136 \pi ) квадратных сантиметров.