Для решения задачи о вращении прямоугольного треугольника вокруг катета и вычисления площадей поверхностей образовавшегося конуса, сначала нужно понять, какие элементы конуса нам известны и какие нужно найти.
В этом случае катеты треугольника 12 см и 5 см становятся, соответственно, образующей и радиусом основания конуса, так как вращение происходит вокруг большего катета . Гипотенуза треугольника будет высотой конуса. Нам известны следующие данные:
- радиус основания см,
- образующая см.
Вычисление высоты конуса
Высота конуса может быть найдена из теоремы Пифагора, применённой к исходному треугольнику:
см.
Площадь боковой поверхности конуса
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
[ S{бок} = \pi r l ]
[ S{бок} = \pi \cdot 5 \cdot 12 = 60\pi ] кв. см.
Площадь основания конуса
Площадь основания конуса вычисляется по формуле для площади круга:
[ S{осн} = \pi r^2 ]
[ S{осн} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi ] кв. см.
Полная площадь поверхности конуса
Полная площадь поверхности конуса включает в себя площадь основания и боковую площадь:
[ S{полн} = S{бок} + S{осн} ]
[ S{полн} = 60\pi + 25\pi = 85\pi ] кв. см.
Таким образом, площадь боковой поверхности образовавшегося конуса составляет кв. см, а полная площадь поверхности конуса — кв. см.